Учебник. Геометрические приложения определенного интеграла




Геометрические приложения определенного интеграла

1. Площадь плоской фигуры.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как S= a b f x dx .

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной функцией f (x), пересекающей ось абсцисс, определяется формулой S= i: f x 0 x i-1 x i f x dx - i: f x <0 x i-1 x i |f x | dx , где xi – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно разбить отрезок [a; b] нулями функции f (x) на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первого второе.

2. Площадь криволинейного сектора.

Площадь криволинейного сектора
Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна S= 1 2 α β ρ 2 φ dφ .

3. Объем тела вращения.

Объем тела вращения

Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [a; b] функцией f (x). Его объем выражается формулой V=π a b f 2 x dx .

К задаче о нахождении объема тела по площади поперечного сечения

Пусть тело заключено между плоскостями x = a и x = b, а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x, – непрерывная на отрезке [a; b] функция σ (x). Тогда его объем равен V= a b σ x dx .

4. Длина дуги кривой.

Пусть задана кривая r t = x t  y t  z t Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t = α и t = β выражается формулой S= α β x t 2 + y t 2 + z t 2 dt .

Длина дуги плоской кривой
В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, выражается формулой S= a b 1+ f x 2 dx .

5. Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой Π=2π a b f x 1+ f x 2 dx .





 

Цветы в махачкале
Цветы лилии: какой сорт выбрать. как посадить и выращивать. Фото сортов
valentina-flora.ru
© Физикон, 1999-2015