Учебник. Геометрические приложения определенного интеграла

1. Площадь плоской фигуры.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\mathrm{.}$

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной функцией f (x), пересекающей ось абсцисс, определяется формулой $S=\sum _{i:f\left(x\right)\ge 0}\underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}f\left(x\right)dx-\sum _{i:f\left(x\right)<0}\underset{x_{i-1}}{\overset{x_i}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx\mathrm{,}$ где x_i – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно разбить отрезок [a; b] нулями функции f (x) на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первого второе.

2. Площадь криволинейного сектора.

Площадь криволинейного сектора

Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна $S=\frac{1}{2}\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{\rho }^2\left(\phi \right)d\phi \mathrm{.}$

3. Объем тела вращения.

Объем тела вращения

Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [a; b] функцией f (x). Его объем выражается формулой $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx\mathrm{.}$

К задаче о нахождении объема тела по площади поперечного сечения

Пусть тело заключено между плоскостями x = a и x = b, а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x, – непрерывная на отрезке [a; b] функция σ (x). Тогда его объем равен $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sigma \left(x\right)dx\mathrm{.}$

4. Длина дуги кривой.

Пусть задана кривая $\overrightarrow{r}\left(t\right)=\left(x\left(t\right)\mathrm{, }y\left(t\right)\mathrm{, }z\left(t\right)\right)$ Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t = α и t = β выражается формулой $S=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\sqrt{{\left(x^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)\right)}^2+{\left(y^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)\right)}^2+{\left(z^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)\right)}^2}\mathrm{dt}\mathrm{.}$

Длина дуги плоской кривой

В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, выражается формулой $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{\left(f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\right)}^2}\mathrm{dx}\mathrm{.}$

5. Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой $\Pi =2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\sqrt{1+{\left(f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\right)}^2}dx\mathrm{.}$