Учебник. Формула Ньютона – Лейбница




Формула Ньютона – Лейбница

Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого x[ a b ] существует интеграл F x = a x f t dt , который называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в x 0 [ a b ] , то функция F (x) дифференцируема в x 0 ,  причем F x 0 =f x 0 .

Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида F x = a x f t dt +C , где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.

 

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда a b f x dx =F b -F a .

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], g t [ a b ] . Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле: a b f x dx = α β f g t g t dt .

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям: a b u v dx = uv | a b - a b v u dx .





 

© Физикон, 1999-2015