Учебник. Свойства определенного интеграла




Свойства определенного интеграла

Доопределим понятие интеграла при a ≥ b следующими равенствами: a b f x dx =- b a f x dx , a a f x dx =0 .

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

  • Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке [ x 1   x 2 ][ ab ] .
  • Для любых a, b и c a b f x dx = a c f x dx + c b f x dx .
  • Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A a b f x +g x dx = a b f x dx + a b g x dx , a b Af x dx =A a b f x dx .
  • Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) ċ g (x) также интегрируема на этом отрезке.
  • Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a a a+T f x dx = 0 T f x dx .
Свойства определенного интеграла

Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).

  • Если f (x) ≥ g (x), то a b f x dx a b g x dx . В частности, если f (x) ≥ 0, то a b f x dx 0 .
  • Если f (x) ≥ 0 для любого x[ a b ]  и существует x 0 [ a b ] такое, что f( x 0 ) >0 ,  причем f (x) непрерывна в x 0 ,  то a b f x dx >0 .
  • |f (x)| интегрируема на [a; b], причем | a b f x dx | a b | f x |dx .
  • Если на отрезке [a; b] m ≤ f (x) ≤ M, то m b-a a b f x dx M b-a .

Численное вычисление определенного интеграла при помощи формулы трапеций
Для вычисления определенных интегралов на компьютере нередко используют приближенную формулу трапеций: a b f x dx b-a n f a 2 +f x 1 +...+f x n + f b 2 .

Ее смысл состоит в том, что криволинейные трапеции заменяются обычными, площадь каждой из которых равна f x i +f x i-1 2 x i - x i-1 .





 

Каратэ в алматы
История косики каратэ. Правила каратэ
kanku.kz
© Физикон, 1999-2015