Учебник. Интегрирование сложных функций




Интегрирование сложных функций

Назовем правильной рациональной дробью функцию вида P m x Q n x , где P m и Q n – многочлены степеней m и n соответственно, причем m < n. Всякая правильная рациональная дробь раскладывается на сумму простых дробей вида A x-a r и  Bx+D x 2 +px+q k , где A, B, D, a, p, q – постоянные ( p 2 -4q<0 ) ,   r ,   k .

Любая неправильная дробь P m x Q n x ,  m ≥ n, представима в виде P m x Q n x =S x + R x Q n x , где R x Q n x  – правильная дробь, а S (x) – многочлен степени m – n. Для этого можно, например, разделить Pm на Qn «уголком». Так, дробь x 3 x-1 не является правильной, для нее получаем:

Итак, x 3 x-1 = x 2 +x+1+ 1 x-1 .

Таким образом, интегралы от дробей вида A x-a r являются степенными или логарифмическими функциями: A x-a dx =Aln| x-a |+C , A x-a r dx = A 1-r x-a r-1 +C  (r ≠ 1).

Интеграл от дроби вида Bx+D x 2 +px+q k вычисляется методом замены переменного: Bx+D x 2 +px+q k dx = t=x+ p 2 B t- p 2 +D t 2 + a 2 k dt = B t  t 2 + a 2 k dt + D - B p 2 t 2 + a 2 k dt , где a 2 =q- p 2 4 .

При k = 1 эти интегралы соответственно равны 1 2 ln t 2 + a 2 +C= 1 2 ln x 2 +px+q +C и D a arctg t a +C = 1 q- p 2 4 arctg x+ p 2 q- p 2 4 +C .

При k > 1  t dt t 2 + a 2 k dy = 1 2 d t 2 + a 2 t 2 + a 2 k dt = 1 2 1-k x 2 +px+q k-1 +C , а второй интеграл является линейной комбинацией правильной рациональной дроби и арктангенса.

Некоторые сложные функции интегрируются методом замены переменного.

Так, интеграл вида R sinx cosx dx , где R (x) – произвольная рациональная функция, сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки t=tg x 2 ,  x -π π , поскольку sinx= 2t 1+ t 2 , cosx= 1- t 2 1+ t 2 ,   dx=2 dt 1+ t 2 .

Интеграл вида R sin m x  cos n x dx , где (m + n) – нечетное число, решается подстановкой t = sin x или t = cos x. Если же (m + n) – четное, то используют подстановку t = tg x или t = cos 2x.

Заметим, что некоторые интегралы от трансцендентных функций не выражаются через элементарные функции. К таковым относятся, в частности:

  • e - x 2 dx интеграл Пуассона;
  • sin x 2 dx и cos x 2 dx интегралы Френеля;
  • dx lnx интегральный логарифм;
  • sinx x dx интегральный синус;
  • cosx x dx интегральный косинус.




 

Снегозадержатели трубчатые
Трубчатые снегозадержатели: подбор,монтаж
bauprofil.ru
© Физикон, 1999-2015