Учебник. Основные приемы интегрирования




Основные приемы интегрирования

Простейшие задачи, в которых нужно проинтегрировать элементарные функции, решаются при помощи таблицы первообразных. В более сложных случаях нужно знать ряд приемов, сводящих в конечном итоге вычисляемый интеграл к интегралам от табличных функций. Одним из таких приемов является метод замены переменного.

Пусть определены дифференцируемые функции f (x) и g (t), а также сложная функция g (f (x)). Пусть G t =g t . Тогда G x = G f f x =g f x f x Это означает, что g f x f x dx = g f x df x =G f x +C .

Иногда, вычисляя интеграл f x dx , полезно перейти к новой переменной. Пусть x = g (t) монотонная дифференцируемая функция, t= g  -1 (x) – обратная ей функция. Тогда f x dx=f g t g t dt . Обозначая u t =f g t g t , получим f (x) dx = u (t) dt. Если u t dt =U t +C , то f x dx = u t dt =U t +C=U g -1 x +C .

Этот метод называется методом подстановки.

 

Пусть функции u (x) и v (x) имеют непрерывные на D производные. Тогда u v dx = u dv =uv- v du .

Функция uv имеет непрерывную производную на D, и u v = uv -v u . Интегрируя обе части этого равенства, получим u v dx =uv+C- v du . Относя константу интегрирования к интегралу v du , получаем доказываемую формулу.

Эта формула описывает метод интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла u dv к вычислению интеграла v du .





 

© Физикон, 1999-2015