Учебник. Первообразная




Первообразная

Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто требуется решить обратную задачу, то есть найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию.

Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого xD F x =f x .

Так, функция F= x 3 3 является первообразной функции f( x ) = x 2 ,  в чем можно убедиться, поставив эти функции в определение первообразной. Функция F= x 3 3 +1 также является первообразной функции f( x ) = x 2 .  

Если функция F является первообразной функции f, то все функции вида F + C, где C – константа, и только они являются первообразными функции f.

Таким образом, для любой функции ее первообразная F определяется неоднозначно. Для того, чтобы задать ее однозначно, нужно указать точку A (x0; y0), удовлетворяющую уравнению y = F (x).

Дифференцирование и интегрирование функций

Первообразные основных элементарных функций приведены в таблице.

Функция f (x) Первообразная F (x)
0 C
a xa + C
xα, α ≠ –1 x α+1 α+1 +C
1 x ln |x| + C
ax a x lna +C
sin x –cos x + C
cos x sin x + C
1 cos 2 x tg x + C
1 sin 2 x –ctg x + C
1 1- x 2 arcsin x + C
1 1+ x 2 arctg x + C




 

© Физикон, 1999-2015