Учебник. Построение кривых, заданных параметрически




Построение кривых, заданных параметрически

При построении кривых, заданных параметрически: x = x (t), y = y (t), можно придерживаться следующего плана.

  1. Найти области определения Dx (t) и Dy (t) функций x (t) и y (t).
  2. Найти область определения D t = D x t D y t функции, заданной параметрически.
  3. Решив уравнения x (t) = 0, y (t) = 0, найти точки пересечения с осями координат.
  4. Вычислить производные x t и y t .
  5. Определить производную y x = y t x t . Найти критические точки.
  6. На каждом из интервалов, границами которых служат критические точки, определить знак производной y x и промежутки возрастания и убывания функции y (x), заданной параметрически.
  7. Определить экстремумы функции, а также точки, касательная к которым вертикальна (производная y x в этих точках обращается в бесконечность).
  8. Определить особые точки графика, в которых x t =0 и (или) y t =0 .
  9. Найти пределы lim t t 0 x t и lim t t 0 y t в точках t0, лежащих на границах области определения.
    • Если оба предела конечны, найти касательную к кривой в точке x 0 = lim t t 0 x t ,   y 0 = lim t t 0 y t .
    • Если один из пределов конечен, а второй бесконечен, то кривая имеет горизонтальную y = y0 или вертикальную x = x0 асимптоту.
    • Если оба предела бесконечны, то найти наклонную касательную, вычислив пределы k= lim t t 0 y t x t ,   b= lim t t 0 y t -kx t . Если один из этих пределов не существует, то асимптоты нет.
  10. Вычислить производную y ′′ xx = y ′′ tt x t - y t x ′′ tt x t 3 и определить точки перегиба функции и направление выпуклости на каждом из интервалов, ограниченных точками перегиба или точками, в которых вторая производная не существует.
  11. Выяснить, существуют ли точки самопересечения графика функции, решив систему { x t 1 =x t 2 y t 1 =y t 2   t 1 t 2
  12. Проверить график функции на симметричность.
    • График функции симметричен относительно точки (a; b), если при любом t можно найти такое t1, что { x t +x t 1 =2a y t +y t 1 =2b .
    • График функции симметричен относительно прямой ax + by + c = 0, если при любом t можно найти такое t1, что { a x t 1 +x t +b y t 1 +y t +2c=0 b x t 1 -x t =a y t 1 -y t . В частности, график функции симметричен относительно прямой y = x, если при любых t имеет решение система { x t =y t 1 y t =x t 1 .




 

© Физикон, 1999-2015