Учебник. Выпуклость функции и точки перегиба




Выпуклость функции и точки перегиба

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка f x 1 + x 2 2 f x 1 +f x 2 2 .

Выпуклая вверх функция
Другими словами, если для любых точек x1 и x2 отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого x[ a b ] f ′′ x 0 .

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого x[ a b ] f ′′ x 0 .

Так, вторая производная функции y= x 2 равна f ′′ x =2>0 , откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке x 0 и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка x 0 называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если x 0 – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то f ′′ x 0 =0 .

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке x 0 .  Если f ′′ x 0 меняет знак при переходе через точку x 0 ,  то x 0 – точка перегиба функции f (x).

Если f ′′ x 0 =0 ,   f 3 x 0 0 , то x 0 – точка перегиба функции f (x).

 

В заключение приведём примеры, когда точка x0 не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:

  • если функция разрывна в точке x 0 (например f={ 1 x  при x0 0,x=0 ,    x 0 =0 );
  • в случае угловой точки (например, f={ sinx, x0 x 4 , x<0    x 0 =0 ).

Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка x 0 =0 у функции y= |x| .

 

Все вышеперечисленные случаи изображены на рисунке.

Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва, точка возврата, угловая точка




 

© Физикон, 1999-2015