Учебник. Линеаризация элементарных функций




Линеаризация элементарных функций

Рассмотрим функции y = sin x и y = x в окрестности точки x = 0. Увеличивая масштаб графика, можно убедиться, что sin x ≈ x при x → 0. Более точное приближение дает sinxx- x 3 6 при x → 0. Добавляя в эту формулу все более и более высокие степени x с определенными коэффициентами, мы будет получать все более и более точное представление функции sin x многочленом. Такой многочлен называют многочленом Тейлора.

Функции y = x3 – 3x и y = –3x2 – 6x – 1 очень «похожи» в окрестности точки x = –1.

В общем случае функция f (x) представляется в бесконечно малой окрестности точки x0 многочленом Тейлора, задаваемым формулой f x = k=0 n f k x 0 k! x- x 0 k +o x- x 0 n , где o ((x – x0)n) – бесконечно малая относительно (x – x0)n функция. Естественно, данная формула справедлива, если в точке x0 существуют производные функции f вплоть до f (n). Напомним, что операция факториал определяется следующим образом: n! = 1 · 2 · 3 ·…· (n – 1) · n, (2n)!! = 2 · 4 ·…· (2n – 2) · 2n, (2n + 1)!! = 1 · 3 ·…· (2n – 1) · (2n + 1), 0! = 1.

В окрестности x = 0 формула Тейлора приобретает вид f x = k=0 n f k 0 k! x k +o x n .

Эта формула называется формулой Маклорена.

Линеаризация функций

Приведем формулы разложения по степеням x некоторых элементарных функций при x → 0.

e x =1+x+ x 2 2! + x 3 3! +...+ x n n! +o x n shx=x+ x 3 3! + x 5 5! +...+ x 2n+1 2n+1 !! +o x 2n+2 chx=1+ x 2 2! + x 4 4! +...+ x 2n 2n !! +o x 2n+1 sinx=x- x 3 3! + x 5 5! -...+ -1 n x 2n+1 2n+1 !! +o x 2n+2 cosx=1- x 2 2! + x 4 4! -...+ -1 n x 2n 2n !! +o x 2n+1 arctgx=x- x 3 3 + x 5 5 -...+ -1 n 2n+1 x 2n+1 +o x 2n+2 1 1-x =1+x+ x 2 +...+ x n +o x n 1 1+x =1-x+ x 2 -...+ -1 n x n +o x n 1+x α = k=0 n C α k x k +o x n , где  C α 0 =1 ,  C α k = α α-1 ... α- k-1 k! ln 1+x =x- x 2 2 + x 3 3 -...+ -1 n-1 n x n +o x n ln 1-x =-x- x 2 2 - x 3 3 -...- x n n +o x n

Формулы Тейлора и Маклорена используются при приближенных вычислениях и для нахождения пределов функций. В частности, ряд Тейлора применяется для вычисления пределов вида lim x x 0 fx gx , где f (x) > 0, lim x x 0 fx=1 ,    lim x x 0 gx= . Если x 0 =0 ,    f(x)1+a x k ,    1 g(x) b x k при x → 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, k , то lim x0 1+a x k 1 b x k = e a b . Если fx= 1+ a 1 x k +o x k 1+ a 2 x k +o x k ,    gx= 1 b x k +o x k при x → 0, причем a 1 0,  a 2 0, b0 , то lim x0 fx gx = e a 1 - a 2 b .

 

Если fx1+a x n ,   1 gx b x m , где a0, b0, m, n то lim x0 fx gx =1 при n > m. lim x0 fx gx ={ +,m>n, ab>0 0, m>n, ab<0 , если m > n и m – n – четное число. Если же m > n и m – n – нечетное число, то lim x0 fx gx не существует.





 

© Физикон, 1999-2015