Учебник. Геометрический смысл производной




Геометрический смысл производной

Определение касательной
Возьмем кривую CAB, выберем на ней точку M и проведем секущую AM. Будем приближать по дуге точку M к точке A. В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A, приближаясь (для гладких линий) к некоторому пределу – прямой AT. Другими словами lim AM0 TAM=0 . Прямую AT, обладающую таким свойством, называют касательной к кривой CAB в точке A.

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT: lim AM0 k AM = k AT . Данное равенство справедливо, если в точке A существует невертикальная касательная к кривой CAB.

Если кривая CAB является графиком функции f (x), то для углового коэффициента k касательной можно записать: k= lim Δx0 f x 0 +Δx -f x 0 Δx (здесь и далее x0 и f (x0) – координаты точки касания). Функция f (x) дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда к графику функции в этой точке можно построить невертикальную касательную, причем угловой коэффициент этой касательной равен производной функции в этой точке: k= f x 0 .

Другими словами, производная функции в точке x0 равняется тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Уравнение прямой, проходящей через точку (a; b), задается формулой y = k (x – a) + b. Поэтому уравнение касательной в общем случае выглядит так: y=f x 0 + f x 0 x- x 0 .

Проходящие через точку A прямые с угловыми коэффициентами f - x 0 и f + x 0 называются, соответственно, левой и правой касательными к графику функции y = f (x) в точке A. Эти касательные совпадают, если функция f дифференцируема в точке A.

Пусть графики функций y = f1(x) и y = f2(x) пересекаются в точке A. Углом φ между их графиками называется угол, образованный касательными к ним в точке A. В этом случае { φ=arctg| f 1 ' - f 2 ' 1+ f 1 ' f 2 ' |,0φ< π 2 φ= π 2 ,1+ f 1 ' f 2 ' =0

Касательная и нормаль

Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x0; y0) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением y=f x 0 - 1 f x 0 x- x 0 , что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых.

В случае бесконечной производной f x 0 = касательная в точке x0 становится вертикальной и задается уравнением x = x0, а нормаль – горизонтальной: y = y0.





 

© Физикон, 1999-2015