Учебник. Частные производные




Частные производные

В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V. Если каждому набору аргументов x 1 D 1 ,   x 2 D 2 , …, x n D n ставится в соответствие число y( x 1 x 2 ... x n ) ,  то говорят, что задана функция n переменных y = f (x1, x2, …, xn).

Число A называется пределом функции f (x1, x2, …, xn) по подмножеству M области определения функции при (x1; x2; …; xn) → (a1; a2; …; an), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что на пересечении δ-окрестности точки A (кроме, быть может, самой точки A) с подмножеством M для всех x = (x1; x2; …; xn) выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

В этом случае пишут A= lim xa xM f(x).

Пусть функция двух переменных f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0; y0). Пределом функции f (x, y) в точке (x0; y0) по направлению l = (cos α, sin α) называется число lim (xy)( x 0 y 0 ),      (xy)L f(xy)= lim t+0 f x 0 +tcosα  y 0 +tsinα , где L – луч, выходящий из точки (x0; y0) в направлении l.

Пусть функция f (x1, x2, …, xn) определена в окрестности точки a = (a1; a2; …; an). Рассмотрим функцию одной переменной f (x1, a2, …, an). Она может иметь производную по своей переменной x1. Такая производная по определению называется частной производной  f x 1 в точке a 1 : f x 1 a 1   a 2  ...,  a n = lim Δ x 1 0 f a 1 +Δ x 1   a 2  ...,  a n -f a 1   a 2  ...,  a n Δ x 1 .

Аналогично определяются частные производные функции f по другим переменным.

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, правила вычисления частной производной точно такие же, как и обычной производной.

Функция f (x1, x2, …, xn) называется дифференцируемой в точке a = (a1; a2; …; an), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа A1, A2, …, An, что f(x)-f(a)= i=1 n A i   ( x i - a i )+(ρ (xa)) при xa. Функция f (x1, x2, …, xn) дифференцируема в точке a тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности a функция f (x) может быть представлена в следующем виде: f(x)=f(a)+ i=1 n f i (x) ( x i - a i ) , где функции f i (x) непрерывны в точке a.

Если функция f( x 1 x 2 ... x n ) дифференцируема в точке a, то в окрестности a существуют все частные производные f x i (a), и f(x)-f(a)= i=1 n f x i (a)( x i - a i )+o(ρ(xa)) при xa. Обратное, вообще говоря, неверно.

 

Пусть функция f (x, y, z) дифференцируема в точке A (x0; y0; z0). Назовем градиентом функции вектор gradf x 0   y 0   z 0 = f x x 0   y 0   z 0 f y x 0   y 0   z 0 f z x 0   y 0   z 0 .

Градиент функции обозначается как f . Геометрически направление градиента функции совпадает с направлением наискорейшего возрастания величины, задаваемой этой функцией, а его модуль равен частной производной этой функции по данному направлению. В физике градиент используется, например, для формулы связи потенциальной энергии и силы: F =-grad U .

Например, градиент однородного поля U = kx, изменяющегося только по оси OX, равен F =-gradU= -k 0 0 .

Еще раз подчеркнем, что градиент – векторная функция от скалярного аргумента.





 

Детские языковые лагеря цитаты Москва и область тут
soglasie.com
© Физикон, 1999-2015