Учебник. Вектор-функции




Вектор-функции

Пусть каждому значению tD поставлен в соответствие вектор r t трехмерного пространства. В этом случае говорят, что на множестве D задана векторная функция.

Если в пространстве задана декартова система координат, то задание вектор-функции r t означает задание скалярных функций x (t), y (t), z (t). Если i ,   j ,   k  – единичные векторы координатных осей, то r t =x t i +y t j +z t k .

Если для любого t начало вектора r t совпадает с началом координат, то говорят о радиус-векторе.

Вектор a называется пределом вектор-функции r t при t t 0 , если lim t t 0 | r t - a |=0 .

Пусть lim t t 0 r t = a ,   lim t t 0 r 1 t = a 1 ,   lim t t 0 r 2 t = a 2 . Тогда lim t t 0 | r t |= | a | , lim t t 0 f t r t = lim t t 0 f t lim t t 0 r t , lim t t 0 r 1 t + r 2 t = lim t t 0 r 1 t + lim t t 0 r 2 t , lim t t 0 r 1 t ċ r 2 t = lim t t 0 r 1 t ċ lim t t 0 r 2 t .

Вектор-функцию r t называют непрерывной в точке t0, если lim t t 0 r t = r t 0 .

Дифференциалом вектор-функции  d r называют линейную вектор-функцию r′ ( t 0 )(t- t 0 ). Производная вектор-функции в точке t 0 определяется аналогично производной функции одного переменного: r t 0 = lim Δt0 r t 0 +Δt - r t 0 Δt .

Аналогично вводится понятие второй производной и производных более высоких порядков.

Производная вектор-функции r t связана с ее дифференциалом d r формулой d r = r dt или r = d r dt .

Вектор-функции широко используются в физике. Так, скорость v , ускорение a , сила F , напряженности электрического и магнитного полей E и B , плотность тока j являются векторными функциями координат.





 

© Физикон, 1999-2015