Учебник. Определение производной




Определение производной

Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δt равна v = S t+Δt -S t Δt . Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости v: это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Δt → 0, то есть v= lim Δt0 S t+Δt -S t Δt .

Линеаризация функции y = sin x
Рассмотрим поведение графика функции y = sin x в окрестности точки x = 0. Если увеличивать масштаб графика, то кривизна графика становится все меньше и меньше, а сам график приближается к графику прямой y = x.

Эти и другие задачи приводят к понятию производной.

К определению производной

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x 0 ,  и существует конечный предел отношения f x 0 +Δx -f x 0 Δx при Δx → 0. Тогда этот предел называется производной функции в точке x 0 : f x 0 = lim Δx0 f x 0 +Δx -f x 0 Δx .

Производная функции y = f (x) может также обозначаться одним из следующих способов: f x x 0 ,   y x 0 df dx . В физике производную по времени t часто обозначают точкой: f ˙ t 0 .

Если приращение функции f (x0 + Δx) – f (x0) обозначить как Δy, то определение можно записать так: f x 0 = lim Δx0 Δy Δx .

Из определения производной и предела функции следует, что Δy= f x 0 Δx+Δx α Δx , где α (Δx) – бесконечно малая функция при Δx → 0.

Операция вычисления производной называется дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует её производная.

Дифференцирование функций

По аналогии с пределами вводится понятие правой и левой производных: f + x 0 = lim Δx+0 f x 0 +Δx -f x 0 Δx ,  f - x 0 = lim Δx-0 f x 0 +Δx -f x 0 Δx .

Если существует производная в точке x 0 ,  то существуют левая и правая производная в этой же точке, причем f - x 0 = f + x 0 = f x 0 .

Обратное также верно: если f - x 0 = f + x 0 , то производная f x в точке x 0 существует и равна левой и правой производным.

Функция y = |x|1/2 имеет в точке x = 0 бесконечную производную неопределённого знака.
Можно ввести также понятие бесконечной производной f x =+ ,  f x =- ,  f x = (последний случай может иметь место, если, например, lim Δx+0 Δy Δx =+ , а lim Δx-0 Δy Δx =- ).

Если функция дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Обратное, вообще говоря, неверно. Примером может служить функция y = |x|, непрерывная в точке x = 0, но имеющая в ней «излом». Производная этой функции в точке x = 0 не существует, так как f - x 0 f + x 0 : f - 0 =-1 ,  f + 0 =1 .





 

Гигиена новорожденного мальчика. Гигиена новорожденного видео .
mikashop.ru
© Физикон, 1999-2015