Учебник. Решение неравенств




Решение неравенств

Пусть задано неравенство f (x) > 0 (очевидно, что все неравенства вида h (x) > g (x) сводятся к рассматриваемому переносом функции g (x) в левую часть). Его решением является совокупность всех точек числовой оси, удовлетворяющих данному неравенству.

Построим график функции y = f (x). Геометрически решениями неравенства будут абсциссы всех точек графика, лежащих над осью OX. Если весь график находится под осью OX, то неравенство решений не имеет (таковым, в частности, является неравенство –x2 > 0).

Решением нестрогого неравенства f (x) ≥ 0 будут все точки графика y = f (x), лежащие на самой оси OX или выше нее. Решения неравенств f (x) < 0 и f (x) ≤ 0 ищутся аналогичным образом.

Геометрической интерпретацией решения неравенства f (x) > g (x) будут абсциссы всех точек графика y = f (x), лежащих выше соответствующих точек графика y = g (x) на пересечении областей определения функций f и g.

Решение неравенств

 

При решении неравенств, содержащих многочлены, часто используют метод интервалов. Суть его состоит в следующем. Пусть в неравенстве P (x) > 0

P (x) – многочлен степени n и пусть x1, …, xm – действительные корни этого многочлена кратности α1,..., αm соответственно, расположенные в порядке возрастания. Разложим многочлен на множители: P x =a x- x 1 α 1 x- x 2 α 2 ... x- x m α m Q x , где Q (x) – многочлен, не имеющий действительных корней. График функции y = P (x) пересекается с осью абсцисс в m точках x1,..., xm; в промежутках между этими точками функция сохраняет знак. На самом правом промежутке (xm; +∞) выполняется неравенство P (x) > 0, если a > 0, и P (x) < 0, если a < 0.

Начертим числовую ось OX и расставим на ней корни xi. Определим знак самого правого промежутка (xm; +∞). Далее движемся по числовой оси справа налево. При переходе через корень xi знак функции сохраняется, если корень четной кратности (то есть αi = 2ki), и изменяется на противоположный, если кратность корня нечетная i = 2ki + 1). На чертеже ставим над каждым промежутком (xi; xi + 1) знак "+", если многочлен принимает на этом промежутке положительные значения, и "–", если он принимает отрицательные значения. Таким образом, получаем решение исходного неравенства как совокупность интервалов (xi; xi + 1), над которыми поставлен знак "+".

Аналогичным образом решается и неравенство P (x) < 0.

Метод интервалов

Нестрогие неравенства вида P (x) ≥ 0 решаются тем же способом. Их решениями являются совокупность интервалов (xi; xi + 1), над которыми поставлен знак "+", и корней многочлена {xi}.

Решение дробно-рациональных неравенств Q 1 x Q 2 x >0 , где Q1 (x) и Q2 (x) – многочлены, сводится к решению неравенства P (x) > 0, где P (x) = Q1 (x) · Q2 (x). Это следует из того, что и произведение, и отношение двух чисел положительно тогда и только тогда, когда эти числа отличны от нуля и одного знака. Нестрогое неравенство Q 1 x Q 2 x 0 равносильно совокупности [ Q 1 (x)ċ Q 2 (x)>0, { Q 1 (x)=0, Q 2 (x)0 .





 

© Физикон, 1999-2015