Учебник. Решение неравенств

Пусть задано неравенство f (x) > 0 (очевидно, что все неравенства вида h (x) > g (x) сводятся к рассматриваемому переносом функции g (x) в левую часть). Его решением является совокупность всех точек числовой оси, удовлетворяющих данному неравенству.

Построим график функции y = f (x). Геометрически решениями неравенства будут абсциссы всех точек графика, лежащих над осью OX. Если весь график находится под осью OX, то неравенство решений не имеет (таковым, в частности, является неравенство –x² > 0).

Решением нестрогого неравенства f (x) ≥ 0 будут все точки графика y = f (x), лежащие на самой оси OX или выше нее. Решения неравенств f (x) < 0 и f (x) ≤ 0 ищутся аналогичным образом.

Геометрической интерпретацией решения неравенства f (x) > g (x) будут абсциссы всех точек графика y = f (x), лежащих выше соответствующих точек графика y = g (x) на пересечении областей определения функций f и g.

При решении неравенств, содержащих многочлены, часто используют метод интервалов. Суть его состоит в следующем. Пусть в неравенстве P (x) > 0

P (x) – многочлен степени n и пусть x₁, …, x_m – действительные корни этого многочлена кратности α₁,..., α_m соответственно, расположенные в порядке возрастания. Разложим многочлен на множители: $P\left(x\right)=a{\left(x-x_1\right)}^{{\alpha }_1}{\left(x-x_2\right)}^{{\alpha }_2}\mathrm{...}{\left(x-x_m\right)}^{{\alpha }_m}Q\left(x\right)\mathrm{,}$ где Q (x) – многочлен, не имеющий действительных корней. График функции y = P (x) пересекается с осью абсцисс в m точках x₁,..., x_m; в промежутках между этими точками функция сохраняет знак. На самом правом промежутке (x_m; +∞) выполняется неравенство P (x) > 0, если a > 0, и P (x) < 0, если a < 0.

Начертим числовую ось OX и расставим на ней корни x_i. Определим знак самого правого промежутка (x_m; +∞). Далее движемся по числовой оси справа налево. При переходе через корень x_i знак функции сохраняется, если корень четной кратности (то есть α_i = 2k_i), и изменяется на противоположный, если кратность корня нечетная (α_i = 2k_i + 1). На чертеже ставим над каждым промежутком (x_i; x_i + 1) знак "+", если многочлен принимает на этом промежутке положительные значения, и "–", если он принимает отрицательные значения. Таким образом, получаем решение исходного неравенства как совокупность интервалов (x_i; x_i + 1), над которыми поставлен знак "+".

Аналогичным образом решается и неравенство P (x) < 0.

Нестрогие неравенства вида P (x) ≥ 0 решаются тем же способом. Их решениями являются совокупность интервалов (x_i; x_i + 1), над которыми поставлен знак "+", и корней многочлена {x_i}.

Решение дробно-рациональных неравенств $\frac{Q_1\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}>0$, где Q₁ (x) и Q₂ (x) – многочлены, сводится к решению неравенства P (x) > 0, где P (x) = Q₁ (x) · Q₂ (x). Это следует из того, что и произведение, и отношение двух чисел положительно тогда и только тогда, когда эти числа отличны от нуля и одного знака. Нестрогое неравенство $\frac{Q_1\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}\ge 0$ равносильно совокупности $[\begin{array}{l}{Q}_1(x)ċQ_2(x)>0\mathrm{,}\\ \{\begin{array}{l}{Q}_1(x)=0\mathrm{,}\\ Q_2(x)\ne 0\mathrm{ .}\end{array}\end{array}$