Учебник. Гиперболические функции




Гиперболические функции

Функция shx= e x - e -x 2 называется гиперболическим синусом. Функция chx= e x + e -x 2 н азывается гиперболическим косинусом.

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.


Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке (–∞; 0) и возрастающей на промежутке (0; +∞). Точка (0; 1) является минимумом этой функции.

Графики функций y = sh x и y = ch x

По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс: thx= shx chx ,  cthx= chx shx .

Тангенс определён на всей числовой оси, котангенс – при всех x ≠ 0 ( lim x±0 cthx=± ). Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные асимптоты y = –1 (при x → –∞) и y = 1 (при x → +∞).

Графики функций y = th x и y = сth x

Приведём некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.

sh x + ch x = ex
ch2 x – sh2 x = 1 ch 2x = ch2 x + sh2 x sh 2x = 2 sh x ch x sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y

Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh x и arth x. У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch x при x ≤ 0 и arch+ x при x ≥ 0.

Графики функций y = arsh x и y = arth x.
Графики функции y = arch x и y = arch+ x.


В заключение приведём формулы для обратных гиперболических функций: arshx=ln x+ 1+ x 2 ,  x arthx= 1 2 ln 1+x 1-x , |x| < 1, arch - x=ln x- x 2 -1 , x ≥ 1, arch + x=ln x+ x 2 -1 , x ≥ 1.





 

Мастер класс по мыловарению
Букеты из конфет, декупаж, рисуем за день, мыловарение, создание украшений
masterika.ru
© Физикон, 1999-2015