Учебник. Логарифмическая функция

На промежутке (0; +∞) определена функция, обратная к a^x (a > 0, a ≠ 1). Эта функция называется логарифмической:

Логарифмическая функция непрерывна и строго возрастает (если основание a > 1) или строго убывает (если 0 < a < 1) на всей области определения. Множество её значений – все действительные числа.

Так как логарифмическая и показательная функции взаимно обратны, то при a > 0, a ≠ 1,

График логарифмической функции y = log₂ x

Ниже приведены некоторые свойства логарифмов
(x > 0, $x_1\mathrm{,}$  $x_2\mathrm{,}$  a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, $\alpha \in ℝ$).

Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается ln x. Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается lg x.

Сравнивая рост степенной, показательной и логарифмической функции при больших x, можно прийти к следующим выводам: $\underset{x\to \mathrm{+}\infty }{lim}\frac{e^x}{x^n}=\mathrm{+}\infty \mathrm{,}$  $n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ $\underset{x\to \mathrm{+}\infty }{lim}\frac{\sqrt[n]{x}}{lnx}=\mathrm{+}\infty \mathrm{,}$  $n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$

Показательная функция растет быстрее степенной, а степенная – быстрее логарифмической.

Отметим также еще два важных предела: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{ln\left(1+x\right)}{x}=1\mathrm{,}$ $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1\mathrm{.}$