Учебник. Степенная функция




Степенная функция

Степенная функция с натуральным показателем   y= x n ,   n   непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечётное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция y= x n . Степенная функция с четным показателем необратима. Однако если сузить ее область определения до области неотрицательных чисел, то обратной к ней функцией также будет y= x n ,   x ≥ 0. На множестве (–∞; 0) функцией, обратной к функции y= x n ,   (n – натуральное четное число) будет y=- -x n .

Степенная и обратная ей функции

Итак, если x > 0, то при любом натуральном n функция x n обратима, а обратная к ней функция обозначается как x n или x 1 n . Функция x -n = 1 x n также определена и непрерывна на множестве положительных чисел.

Пусть r= m n ,   m ,   n . Тогда степенной функцией с рациональным показателем  x r называют функцию x r = x n m .

Эта функция определена на множестве чисел x > 0 и непрерывна на всей области определения, строго возрастает при r > 0 ( lim x+ x r =+ ) и строго убывает при r < 0 ( lim x+ x r =0 ). Перечислим некоторые свойства рациональных степеней.

a n m = a m n a > 0
ar > 1 a > 1, r > 0 или 0 < a < 1, r < 0
ar < 1 a > 1, r < 0 или 0 < a < 1, r > 0
a r 1 a r 2 = a r 1 + r 2 a > 0
a r 1 r 2 = a r 1 r 2 a > 0
a r 1 > a r 2 a > 1, r1 > r2
a r 1 < a r 2 0 < a < 1, r1 > r2

Степенная функция с вещественным показателем при x > 0 определяется формулой: xα = eα ln x (см. определение логарифма). Эта функция непрерывна и строго возрастает (при α > 0) или строго убывает (при α < 0) на всей области определения. Ее областью значений являются все положительные числа.





 

Автоломбард москва
Автоломбард авто! Срочно! Расчет на месте! Всегда на связи! Звони сейчас
golfstreamcredit.ru
© Физикон, 1999-2015