Учебник. Синус и косинус




Синус и косинус

Положение точек на координатной окружности можно задавать не только длиной дуги, но и декартовыми координатами. Построим декартову систему координат с центром в точке O, осью абсцисс, проходящей через начало отсчета A (0), и осью ординат, проходящей через точку B π 2 . За единицу отсчета возьмем радиус этой окружности. Декартовы координаты точки M (x) единичной окружности называются косинусом и синусом числа x: M (x) = M (cos x; sin x).

Координатная окружность

Для x( 0 π 2 ) определение синуса и косинуса совпадает с геометрическим определением этих понятий, заданных при помощи прямоугольного треугольника OPM. В этом случае sinx= MP OM ,  cosx= OP OM .

Так как координаты точек окружности единичного радиуса по модулю не превосходят 1, то |cos x| ≤ 1, |sin x| ≤ 1.

Таким образом, областью значений обеих функций является отрезок [–1; 1].

Ниже приведены значения косинуса и синуса для некоторых значений x:

x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 3π 2
0 30°45°60°90°180°270°
sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 0 –1
cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 –1 0

Функция sin x обращается в нуль при x = πn, функция cos x обращается в нуль при x=π n+ 1 2 ,   n .

Графики функций y = sin x и y = cos x.
Функции sin x и cos x непрерывны на всей области определения. Они периодичны; их основной период равен 2π.

Промежутки монотонности и знакопостоянства:

Функция [ 0 π 2 ] [ π 2 π ] [ π 3π 2 ] [ 3π 2 2π ]
sin x Неотрицателен, возрастает от 0 до 1 Неотрицателен, убывает от 1 до 0 Неположителен, убывает от 0 до –1 Неположителен, возрастает от –1 до 0
cos x Неотрицателен, убывает от 1 до 0 Неположителен, убывает от 0 до –1 Неположителен, возрастает от –1 до 0 Неотрицателен, возрастает от 0 до 1

Синус достигает максимума в точках x max = π 2 +2πn и минимумы в точках x min =- π 2 +2πn . Косинус достигает максимума в точках xmax = 2πn, минимума – в точках xmin = π + 2πn.

Функция sin x нечетна, функция cos x четна:

cos (–x) = cos x sin (–x) = –sin x

Формулы приведения, позволяющие свести тригонометрические функции от любого аргумента к функциям от углов из промежутка [ 0 π 2 ] :

cos (x + π) = –cos x cos (π – x) = –cos x cos x+ π 2 =-sinx cos π 2 -x =sinx sin (x + π) = –sin x sin (π – x) = sin x sin x+ π 2 =cosx sin π 2 -x =cosx

Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора):

sin2 x + cos2 x = 1

Некоторые тригонометрические формулы приведены в таблице.

График функции y = sin x называется синусоидой, а функции y = cos x – косинусоидой. В обоих случаях достаточно построить графики на отрезке [0; 2π] или [–π; π], а затем периодически продолжать их на всю ось. Более того, достаточно построить график y = sin x на отрезке [ 0 π 2 ] , отразить симметрично относительно оси x= π 2 , а затем отразить получившийся график относительно точки (π; 0). График y = cos x после построения на отрезке [ 0 π 2 ] нужно отразить относительно точки π 2 0 , а затем получившийся график – относительно оси x = π. Заметим также, что косинусоида получается из синусоиды сдвигом на π/2 влево, поэтому, как правило, используется только термин «синусоида».

Математический маятник

Синус и косинус применяются во многих областях физики и математики. Например, с их помощью удобно описывать гармонические колебания, задаваемые формулами y = A cos (ωx + φ) или y = A sin (ωx + φ). Здесь A – амплитуда, ω – частота, φ – начальная фаза колебаний. Для построения графика гармонического колебания необходимо последовательно выполнить следующие операции над синусоидой:

  • сжать к оси ординат с коэффициентом ω,
  • перенести вдоль оси абсцисс на φ влево,
  • растянуть от оси абсцисс в A раз.

Если мы имеем дело с явлением, в котором одновременно происходят несколько различных колебательных процессов с соизмеримыми периодами, то зависимость колеблющейся величины от времени остается периодической, но график этой зависимости в общем случае уже не является синусоидой. Любую из функций, описывающих эту зависимость, можно представить в виде суммы постоянной составляющей и гармонических колебаний с частотами, кратными ω= 2π T .

Колебания в электрической цепи




 

Купить тушенку москва
Тушенка из говядины оптом. Производитель.Выгодные цены.
argomagazin.ru
© Физикон, 1999-2015