Учебник. График квадратичной функции




График квадратичной функции

График функции ( x ) =a x 2 +bx+c при a ≠ 0 называется параболой. Рассмотрим сначала функцию y=a x 2 . Областью определения этой функции являются все x . Решив уравнение a x 2 =0 ,  получим x = 0. Итак, единственный нуль этой функции x = 0. Функция f=a x 2 является четной (для любых x    a x 2 =a ( -x ) 2 ),   ось OY является ее осью симметрии. lim x± f x = .

График функции y = ax2, a = 1 > 0.

При a > 0 функция убывает на x < 0 и возрастает на x > 0. Точка x = 0 по определению является минимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток [0; +∞).

При a < 0 функция возрастает на x < 0 и убывает на x > 0. Точка x = 0 является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток (–∞; 0].

Построение параболы

 

График функции f (x) = ax2 + bx + c легко построить из графика функции y = x2 геометрическими преобразованиями, используя формулу y=a x+ b 2a 2 - D 4a .

Для этого нужно растянуть график y = x2 в a раз от оси OX, при необходимости отразив его относительно оси абсцисс, а затем сместить получившийся график на b 2a влево и на D 4a вниз (если какое-либо из этих чисел меньше нуля, то соответствующее смещение нужно производить в противоположную сторону).

 

Парабола является одним из конических сечений

Точка x=- b 2a является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и min x f x =f - b 2a =- D 4a . Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции, и max x f x =f - b 2a =- D 4a .

Функция f (x) = ax2 + bx + c при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.

Построение параболы по трем точкам




 

© Физикон, 1999-2015