Учебник. Квадратное уравнение




Квадратное уравнение

Уравнение ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, называется квадратным уравнением.

Выделив полный квадрат, получим уравнение a x 2 +bx+c=a x+ b 2a 2 - D 4a =0 . Если D0 , то отсюда следует, что x+ b 2a =± D 4 a 2 =± D 2a или x= -b± D 2a .

Мы получили формулу корней квадратного уравнения (формулу Виета).

Алгоритм поиска корней квадратного уравнения

При D > 0 существуют два корня x1 и x2. При D = 0 корни квадратного уравнения совпадают: x1 = x2. Наконец, при D < 0 равенство x+ b 2a 2 = D 4 a 2 невозможно, и корней у квадратного уравнения не существует.

Если D ≥ 0, то квадратичную функцию можно разложить на множители: y=a x+ b 2a 2 - D 4a =a x+ b 2a + D 2a x+ b 2a - D 2a . Таким образом y = a (x – x1) (x – x2), где x 1 =- b 2a - D 2a , x 2 =- b 2a + D 2a . Если D = 0, то y=a ( x- x 0 ) 2 .  Если D < 0, то квадратный трехчлен нельзя разложить на множители.

Движение по параболе

Теорема Виета. Для того чтобы числа x1 и x2 были корнями уравнения ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства: { x 1 + x 2 =- b a , x 1 ċ x 2 = c a .

  1. Необходимость. Пусть числа x 1 и x 2 являются корнями уравнения a x 2 +bx+c=0  (a ≠ 0). Тогда x 1 =- b 2a - D 2a ,   x 2 =- b 2a + D 2a . Имеем x 1 + x 2 =- b a ,    x 1 ċ x 2 = b 2 -D 4 a 2 = c a .

  2. Достаточность. Пусть имеется система { x 1 + x 2 =- b a , x 1 x 2 = c a . Из первого равенства x 2 =- b a - x 1 . Подставляя это значение во второе равенство, получим x 1 - b a - x 1 = c a , откуда a x 1 2 +b x 1 +c=0 . Значит, число x 1 является корнем квадратного уравнения a x 2 +bx+c=0 .  Аналогично доказывается, что x 2 – также корень этого уравнения.





 

© Физикон, 1999-2015