Учебник. Алгебраические операции над функциями

Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами. Приведем для примера графики функций y = x + sin x и y = x sin x, являющихся соответственно суммой и произведением графиков y = x и y = sin x.

Графики функций y = x + sin x и y = x sin x.

Правило построения графика функции $\frac{1}{f\mathrm{(}x\mathrm{),}}$ если график функции $f\mathrm{(}x\mathrm{)}$ уже построен.

• Если x = a – вертикальная асимптота графика функции $f\mathrm{(}x\mathrm{),}$ то есть $\underset{x\to a+0}{\lim }$ или $\underset{x\to a-0}{\lim }$ то $\underset{x\to a+0}{\lim }$ или соответственно $\underset{x\to a-0}{\lim }$
  Таким образорм, в случае, когда x = a – двусторонняя вертикальная асимптота графика функции $f\mathrm{(}x\mathrm{),}$  x = a будет нулем функции $\frac{1}{f\mathrm{(}x\mathrm{)}}$

• Если у графика функции $f\mathrm{(}x\mathrm{)}$ есть горизонтальная асимптота y = 0 при $x$ то $\underset{x\to \infty }{\lim }$

• Если у графика функции $f\mathrm{(}x\mathrm{)}$ есть горизонтальная асимптота y = b при $x$ то график функции $\frac{1}{f\mathrm{(}x\mathrm{)}}$ будет иметь горизонтальную асимптоту $y$

• Если график функции $f\mathrm{(}x\mathrm{)}$ пересекает ось абсцисс в точке $\mathrm{(}$ то есть $x_0$ – нуль функции $f\mathrm{(}x\mathrm{):}$  $f\mathrm{(}{x}_0\mathrm{)}=0$ то $x$ – вертикальная асимптота графика функции $y$

• Если точка $\mathrm{(}$ – точка максимума (минимума) функции $f\mathrm{(}x\mathrm{)}$ и $y_0$ то $\mathrm{(}$ – точка минимума (максимума) функции $\frac{1}{f\mathrm{(}x\mathrm{)}}$

• Промежуткам возрастания (убывания) графика функции $f\mathrm{(}x\mathrm{)}$ соответствуют промежутки убывания (возрастания) графика функции $\frac{1}{f\mathrm{(}x\mathrm{)}}$

Графики функций $y$ и $y$

Калькулятор функций

Пусть известен график y = f (x) и нужно построить график функции y = |f (x)|. По определению, $\left|f\left(x\right)\right|=\{\begin{array}{cc}f\left(x\right)& \text{при }f\left(x\right)\ge 0\mathrm{,}\\ \mathrm{-}f\left(x\right)& \text{при }f\left(x\right)<0\mathrm{.}\end{array}$ Значит, часть графика, лежащую в верхней координатной полуплоскости, изменять не надо, а часть графика, лежащую в нижней координатной полуплоскости, нужно отобразить симметрично оси OX.

Преобразование графиков функций

Пусть известен график y = f (x) и нужно построить график функции y = f (|x|). Заметим, что при x ≥ 0  f (|x|) = f (x), а функция y = f (|x|) четная. Поэтому, чтобы построить график функции y = f (|x|), нужно часть графика функции y = f (x), лежащую в левой координатной полуплоскости, отбросить, а часть графика, лежащую в правой координатной полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси OY.

Множество точек, удовлетворяющее уравнению |y| = sin x + 0,5.

Равенство |y| = f (x) не задает функции, так как при f (x) > 0 существуют два значения y = ± f (x), удовлетворяющие ему. Множество точек, задаваемое уравнением |y| = f (x), рисуется следующим образом: строится график функции f (x), отбрасывается его часть, находящаяся ниже оси абсцисс, оставшаяся часть дополняется своим симметричным отражением относительно оси абсцисс.