Учебник. Монотонность функций




Монотонность функций

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

Промежутки возрастания и убывания функции
На показанном на рисунке графике функция y = f (x), x[ a b ] , возрастает на каждом из промежутков [ax1) и (x2b] и убывает на промежутке (x1x2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [ax1) и (x2b], но не на объединении промежутков [ a  x 1 )( x 2  b ] .

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

  • Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
  • Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
  • Если функция f возрастает, то функции cf  (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
  • Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.
  • Если функция f возрастает и неотрицательна, то f n ,  где n , также возрастает.
  • Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает.
  • Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Свойства функции

Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).

Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого xD   (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a)  ( aD ),  то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D: max xD f x =f a .

Если для любого xD   (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b)  ( bD ),  то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D. min xD f x =f b .

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

Функция, ограниченная сверху
Функция, ограниченная снизу
Функция, ограниченная на множестве D

Если существует число C такое, что для любого xD выполняется неравенство f (x) ≤ C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D.

Если существует число c такое, что для любого xD выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D.

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), xD , лежит в полосе c ≤ y ≤ C.

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x2. Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.





 

Учим испанский самостоятельно
Испанский язык для начинающих? Наши устройства учат языкам, как учитель
ichebnik.ru
© Физикон, 1999-2015