Учебник. Периодические функции




Периодические функции

Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

  • если xD , то x + T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));
  • для любого xD выполнено равенство f (x + T) = f (x).

Поскольку x-TD , то из приведенного определения следует, что f (x – T) = f (x).

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где n , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.

График периодической функции y=7sin( 5 2 cos x ) .

График периодической функции обычно строят на промежутке [x0x0 + T), а затем повторяют на всю область определения.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x, y = cos x (период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0.

Не следует думать, что периодическими бывают только тригонометрические функции. Функция y = [x], где [x] – целая часть числа x (наибольшее целое число, не превосходящее x) позволяет определить функцию y = {x}, где {x} – дробная часть числа x. По определению {x} = x – [x] (например, {3,7} = 0,7, {–6} = 0, {–4,2} = –4,2 – (–5) = 0,8). Дробная часть числа – функция с периодом T = 1.

В заключение отметим свойства периодических функций.

  • Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то функция g (x) = A · f (kx + b), где k ≠ 0 также является периодической с периодом T 1 = T k .
  • Пусть функции f1 (x) и f2 (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T1 > 0 и T2 > 0. Тогда если T 2 T 1 ,  то функция ( x ) = f 1   ( x ) + f 2   ( x ) периодическая с периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел T 1 и T 2 .




 

Сруб бани из бруса лучшие цены в магазине
Планировки, фотографии, цены. Деревянные дома и бани
kostroma-srub.ru
© Физикон, 1999-2015