Учебник. Четность функций




Четность функций

Функция f (x) называется четной, если для любого xD выполняются равенства:
1) -xD ,
2) f (–x) = f (x).

График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x2 + |x|.

График четной функции y=|x|cosx+ cosx | x 2 -5 | .
График нечетной функции y=0,4 x 3 -4xcosx .

Функция f (x) называется нечетной, если для любого xD выполняются равенства:
1) -xD ,
2) f (–x) = –f (x).

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x3.

Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Так, функция y= x+1 не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения D=[ -1  ) несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x3 + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (–1) ≠ f (1).

Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Таковой суммой является функция f x = f x +f -x 2 + f x -f -x 2 . Первое слагаемое является четной функцией, второе – нечетной.

Четные и нечетные функции

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

  • Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
  • Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
  • Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
  • Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).




 

http://ekopechat.ru
Ростовые фигуры для праздника и веселья. Доставка и установка. Звоните
ekopechat.ru
© Физикон, 1999-2015