Учебник. Декартова система координат

Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые (в трехмерном случае – плоскости), перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых (плоскостей) с осями абсцисс, ординат (аппликат) до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A. Координаты точки записываются в скобках: например, A (–3; 2) или B (x₀; y₀). В трехмерном пространстве координаты точки в декартовой системе координат записываются тремя числами, например, C (5; 0,2; –6).

Координатные оси делят координатную плоскость на четыре квадранта (четверти). Точки, лежащие на осях координат, не принадлежат ни одному квадранту

В двухмерной системе координат все точки, лежащие над (под) осью OX, образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость. Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость.

В конце этого параграфа приведем некоторые очевидные формулы.

• Расстояние от точки A (x₀; y₀) до оси OX равно |y₀|.
• Расстояние от точки A (x₀; y₀) до оси OY равно |x₀|.
• Расстояние от точки $A$ до начала координат равно $\sqrt{x_0^2+y_0^2}\mathrm{.}$
• Расстояние |AB| между точками A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂) равно $\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}\mathrm{.}$
• Точка M, которая является серединой отрезка AB, где A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂), имеет координаты $\left(\frac{x_1+x_2}{2}\mathrm{, }\frac{y_1+y_2}{2}\right)\mathrm{.}$

На случай трехмерного пространства эти формулы обобщаются следующим образом:

• Расстояние от точки A (x; y; z) до плоскости OYZ равно |x|.
• Расстояние от точки A (x; y; z) до начала координат равно $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
• Расстояние |AB| между точками A (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂) равно $\sqrt{{\mathrm{(}{x}_2-x_1\mathrm{)}}^2+{\mathrm{(}{y}_2-y_1\mathrm{)}}^2+{\mathrm{(}{z}_2-z_1\mathrm{)}}^2}$
• Координаты точки M, которая является серединой отрезка AB, где A (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂) равны $\left(\frac{x_1+x_2}{2}\mathrm{; }\frac{y_1+y_2}{2}\mathrm{; }\frac{z_1+z_2}{2}\right)\mathrm{.}$