Учебник. Декартова система координат




Декартова система координат

Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

Декартова система координат

В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

Координаты точки в декартовой системе координат. Важно отметить, что порядок записи координат существенен; так, например, точки A (–3; 2) и B (2; –3) – это две совершенно различные точки

Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые (в трехмерном случае – плоскости), перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых (плоскостей) с осями абсцисс, ординат (аппликат) до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A. Координаты точки записываются в скобках: например, A (–3; 2) или B (x0; y0). В трехмерном пространстве координаты точки в декартовой системе координат записываются тремя числами, например, C (5; 0,2; –6).

Координатные оси делят координатную плоскость на четыре квадранта (четверти). Точки, лежащие на осях координат, не принадлежат ни одному квадранту

В двухмерной системе координат все точки, лежащие над (под) осью OX, образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость. Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость.

Расстояние между городами

В конце этого параграфа приведем некоторые очевидные формулы.

  • Расстояние от точки A (x0; y0) до оси OX равно |y0|.
  • Расстояние от точки A (x0; y0) до оси OY равно |x0|.
  • Расстояние от точки A( x 0 y 0 ) до начала координат равно x 0 2 + y 0 2 .
  • Расстояние |AB| между точками A (x1; y1) и B (x2; y2) равно x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 .
  • Точка M, которая является серединой отрезка AB, где A (x1; y1) и B (x2; y2), имеет координаты x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2 .
Координаты середины отрезка

На случай трехмерного пространства эти формулы обобщаются следующим образом:

  • Расстояние от точки A (x; y; z) до плоскости OYZ равно |x|.
  • Расстояние от точки A (x; y; z) до начала координат равно x 2 + y 2 + z 2 .
  • Расстояние |AB| между точками A (x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2) равно ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 + ( z 2 - z 1 ) 2 .
  • Координаты точки M, которая является серединой отрезка AB, где A (x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2) равны x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2    z 1 + z 2 2 .




 

Сруб бани
Постройка и оснащение саун. Производство и продажа пиломатериалов.
legosrub.ru
© Физикон, 1999-2015