Учебник. Геометрическая прогрессия




Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность {bn}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией:

bn + 1 = bn · q.

Важно отметить, что число q, которое называется знаменателем прогрессии, отлично от нуля. Так как b n-1 = b n q ,   то b n+1 b n-1 = b n 2 .  Верна и обратная теорема.

Последовательность {bn} является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется соотношение b n 2 = b n+1  b n-1 , где b n 0 при всех n. Тем не менее, важно понимать, что формула b n = b n+1 b n-1 справедлива только для геометрической прогрессии с положительными членами, а предыдущее соотношение верно для произвольной геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии {bn} определяется формулой bn = b1 · qn – 1.

Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что при n = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n = k. Докажем ее справедливость для n = k + 1. Имеем bk + 1 = bk · q = b1 · qk – 1 · q = b1 · qk. Теорема доказана.

Банковский счет

Сумма n первых членов геометрической прогрессии {bn} равна S n = b 1 q n -1 q-1 при q ≠ 1 и Sn = n · b1 при q = 1.

Эти формулы также доказываются методом математической индукции. Докажите их самостоятельно.

При |q| < 1 lim n b n =0 , поэтому в этом случае геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число S= lim n S n , где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равна S= b 1 1-q .

Для доказательства достаточно заметить, что S= lim n S n = lim n b 1 q n -1 q-1 = b 1 q-1 lim n q n -1 = b 1 1-q . В предпоследнем переходе использовались свойства пределов последовательностей.

Ахиллес и черепаха




 

Модернизация станка
Портал по станкам. Заявка на ремонт станка он-лайн
remstan.ru
© Физикон, 1999-2015