Учебник. Арифметическая прогрессия




Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии: an + 1 = an + d.

Так как an – 1 = an – d, то an + 1 + an – 1 = 2an. Верно и обратное.

Последовательность { a n } является арифметической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется рекуррентное соотношение a n = a n+1 + a n-1 2 .

Формула общего члена арифметической прогрессии {an} такова: an = a1 + (n – 1) · d.

Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что для n = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n = k. Докажем ее справедливость для n = k + 1. Имеем ak + 1 = ak + d = a1 + (k – 1) · d + d = a1 + k · d. Теорема доказана.

Растущее дерево

Сумма n первых членов арифметической прогрессии {an} равна S n = a 1 + a n 2 n= 2 a 1 + n-1 d 2 n .

Обе формулы легко доказать, используя метод математической индукции. Выполните это самостоятельно.





 

© Физикон, 1999-2015