Учебник. Непрерывные распределения вероятностей




Непрерывные распределения вероятностей

Если случайная величина A может принимать любые значения в интервале (a; b), то такая случайная величина называется непрерывной.

Вернемся к стрелку, на примере которого мы вводили понятие дискретного распределения вероятностей. Тогда мы рассматривали результат его стрельбы в виде номера круга, в который он попал. Теперь же представим, что, попадая в мишень, стрела оставляет на мишени точку. Вероятность того, что стрела два раза попадёт в одно и то же место, очень мала, поэтому можно считать, что точки не пересекаются. Мы увидим примерно такую картинку.

Если разделить количество точек, попавших в небольшой квадрат площадью ΔS = ΔxΔy, на общее количество выстрелов, то получится вероятность попадания в выделенный квадрат. Запишем: p ( ΔS ) = ΔN N .

Здесь мы предполагаем, что площадка ΔS настолько мала, что попадания внутри этой площадки распределены равномерно. Тогда вероятность попадания в маленький квадрат будет зависеть от координаты центра этого квадрата и станет пропорциональной его площади: p ( ΔS ) =φ ( x, y )  ΔS .

При устремлении площади квадратика к нулю (вспомните школьный курс интегрального исчисления) конечные разности нужно заменить на дифференциалы: lim ΔS0 ΔS=dS=dxċdy . Итак, p ( dS ) =φ ( x, y )  dx dy . Функция φ (x, y), которая входит в это равенство, называется плотностью вероятности. Домноженная на дифференциал площади, она равна вероятности попадания стрелка в бесконечно малую окрестность точки (x, y).

Если нам нужно будет узнать вероятность, с которой стрелок попадает в площадку мишени, на которой плотность вероятности нельзя считать постоянной, эту функцию придётся интегрировать.

Плотность вероятности существует и для распределений, зависящих от одной переменной. Рассмотрим это на следующем примере.

Пусть x – это расстояние от точки, в которую попал стрелок, до центра мишени. Тогда p (dx) = φ (x) dx – вероятность попадания стрелком в окрестность dx точки x. Вероятность того, что стрелок «попадёт» в промежуток [x1; x2], p ( x 1 x x 2 )= x 1 x 2 φ (x) dx .

Отсюда следует важное свойство плотности вероятности. Поскольку попадание случайной величины x в интервал (–∞; +∞) – событие достоверное, то справедливо свойство нормировки плотности распределения вероятности.

- + φ (x) dx =1 .

Для некоторого случайного процесса график зависимости плотности вероятности от значения переменной x выглядит следующим образом:

Найти величину a.

Если φ (x) – плотность распределения вероятности, то - + φ (x) dx =1 . В нашем случае φ ( x ) ={ a, 0x2, 0, x>2, x<0. Следовательно, - + φ (x) dx = - 0 0ċdx + 0 2 aċdx + 2 + 0ċdx =2a=1. Отсюда a= 1 2 .

Обратите внимание, что интеграл от функции равен площади под графиком функции. Следовательно, площадь под графиком функции плотности вероятности φ (x) равна единице.

Ответ. a= 1 2 .

Математическое ожидание величины x для непрерывного распределения, задаваемого плотностью φ (x), определяется формулой M x = - + xċφ (x) dx , а дисперсия – формулой D x = - + ( x- M x ) 2  φ (x) dx .

Среднеквадратичное отклонение по-прежнему задается формулой σ x = D x .

Вообще, в том случае, если плотность распределения случайной величины x равна φ (x), математическое ожидание какой-либо функции f (x) этой случайной величины задаётся формулой M f ( x ) = - + f ( x )  φ (x) dx .

 

Так же, как и для дискретных процессов, для непрерывной случайной величины существуют несколько характерных распределений вероятностей.

1. Постоянное распределение

Распределение, частный случай которого приведён в примере 1, называется постоянным распределением. Его плотность принимает одно и то же значение φ ( x ) = 1 b-a на некотором отрезке  [a; b] и равна нулю вне этого отрезка. Учитывая свойство нормировки плотности распределения - + φ (x) dx =1 , становится ясно, что значение φ (x) полностью задаётся шириной отрезка [a; b].

Плотность вероятности постоянного распределения при a = 1, b = 5

Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины x, а также среднее значение величины x 2 для постоянного распределения φ ( x ) = 1 b-a .

Математическое ожидание для непрерывного распределения можно вычислить по формуле M x = - + xċφ(x)dx . В нашем случае M x = - + xċφ (x) dx = a b x b-a dx = x 2 2( b-a ) | a b = b 2 2( b-a ) - a 2 2( b-a ) = a+b 2 . Этого и следовало ожидать: математическое ожидание величины x должно лежать в точности посередине отрезка [a; b].

Дисперсия D x = - + ( x- M x ) 2 φ (x) dx = a b ( x- a+b 2 ) 2 1 b-a dx ======= y=x- a+b 2 1 b-a a-b 2 b-a 2 y 2  dy = y 3 3( b-a ) | a-b 2 b-a 2 = ( b-a ) 2 12 . Среднеквадратичное отклонение σ x = D x = b-a 2 3 . Наконец, среднее значение величины x 2 равно M x 2 = - + x 2 ċφ (x) dx = a b x 2 b-a dx = x 3 3( b-a ) | a b = a 2 +ab+ b 2 3 .

Ответ. a+b 2 ;  ( b-a ) 2 12 ;  b-a 2 3 ;  a 2 +ab+ b 2 3 .

2. Экспоненциальное, или показательное распределение

Рассмотрим прохождение потока частиц через какое-либо вещество. Часть частиц будет поглощаться веществом. Разделим мысленно среду на тонкие пластинки, и пусть, проходя через каждую пластинку, количество частиц в потоке уменьшается в p раз. Тогда, пройдя k пластинок, от начального потока останется лишь pk-я часть.

В реальных условиях процесс поглощения частиц всегда случаен. Можно сказать, что вероятность обнаружить частицу после прохождения через k пластинок равна p ( k ) =a p k , где a – некоторая константа, значение которой мы найдём позже. Введём новую величину λ = –ln p, тогда p= e -λ и p ( k ) =a e -λk . Устремим ширину пластинки к нулю, одновременно увеличивая количество пластинок. В этом случае можно записать, что вероятность обнаружить частицу на глубине x внутри среды равна p ( x ) =a e -λx  (x > 0). Плотность распределения величины x можно вычислить при наложении дополнительного условия - + φ (x) dx =1. Так как выражение 0 + a e -λx dx = - a λ e -λx | 0 + =- a λ ( 0-1 ) = a λ равно единице по условию нормировки, то a = λ.

Плотность вероятности экспоненциального распределения описывается формулой p ( x ) =λ e -λx .

Его математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение можно получить путём интегрирования по частям. Пропуская вычисления, запишем сразу результат: M x = 1 λ , σ= 1 λ .

Плотность вероятности экспоненциального распределения

Вероятность того, что лампочка перегорит ровно через t дней, подчиняется закону p0 (t) = 0,02 e–0,02t. Найти вероятность того, что 100 дней лампочка будет работать безотказно.

Найдём сначала вероятность перегорания за 100 дней:

p(100)= 0 100 0,02 e -0,02t dt =1- e -0,02ċ100 =1- e -2 =1-0,135 .

Тогда вероятность безотказной работы

p ( 100 ¯ )=0,135.

Ответ. 0,135

3. Рассматривая в предыдущем параграфе дискретные распределения, мы говорили о том, что если распределение вероятностей вызвано сложением большого количества случайных событий, каждое из которых мало влияет на результат, то это, скорее всего, распределение Пуассона. В аналогичном непрерывном случае получается распределение Гаусса, которое часто называют нормальным распределением.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

φ(x)= 1 2π σ e - (x-a) 2 2 σ 2 .

В этой формуле a – математическое ожидание величины x, а σ – ее среднеквадратичное отклонение. Вывод этой формулы из распределения Пуассона основан на формуле Стирлинга и разложении в ряд Тейлора; для школьного курса он слишком сложен, и поэтому мы его опускаем.

Плотность вероятности нормального распределения

Сумма двух нормальных распределений с параметрами a 1 ,  σ 1 и a 2 ,  σ 2 также является нормальным распределением с параметрами a= a 1 + a 2 и σ 2 = σ 1 2 + σ 2 2 .

Показания счётчика Гейгера, регистрирующего количество пролетевших сквозь него за 1 секунду элементарных частиц, подчиняются распределению φ(N)0,00127 e - (N-1000) 2 5000 . Найдите математическое ожидание показаний счётчика.

Предположим, что распределение φ(N)0,00798 e - (N-1000) 2 5000 является нормальным. В этом случае a = 1000, σ = 50. Проверкой убеждаемся, что коэффициент перед экспонентой равен 1 2π σ , то есть распределение действительно является нормальным. Тогда M N =1000 частиц в секунду.

Ответ. 1000.

Определите среднее значение скорости молекул газа, если закон распределения скоростей молекул задаётся формулой Максвелла φ ( υ ) =4 k 3 π υ 2 e -k υ 2 .

Среднее значение скорости равно υ &macr; = 0 + υφ ( υ ) dυ = 2 kπ .

Для данного выше распределения Максвелла вычислить дисперсию.

Имеем: ( υ- υ &macr; ) 2 &macr; = 0 + ( υ- υ &macr; ) 2  φ ( υ )  dυ= 0 + υ 2 φ ( υ ) dυ- ( υ &macr; ) 2 = 3 2k - 4 πk .

Ответ.  3 2k - 4 πk .

Нормальному распределению подчиняются случайные ошибки измерений.

4. Частным случаем нормального распределения является логарифмически нормальное. Оно легко получается из нормального заменой x на ln x:

φ (ln x) d( ln x ) = 1 2π σ e - (ln x-a) 2 2 σ 2 d( ln x ) = 1 2π σx e - (ln x-a) 2 2 σ 2 dx .

Здесь учтено, что d( ln x ) dx ( ln x ) = 1 x .

Плотность логарифмически нормального распределения φ (x)= 1 2π σx e - (ln x-a) 2 2 σ 2 .

Плотность вероятности логнормального распределения
Распределения вероятностей




 

© Физикон, 1999-2015