Учебник. Математическое ожидание и дисперсия




Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию Mx. В данном случае Mx = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях n1 раз выпало 1 очко, n2 раз – 2 очка и так далее. Тогда x ¯ = n 1 ċ1+ n 2 ċ2+...+ n 6 ċ6 N . При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, n 1 =Nċp ( x=1 ) =N/6. Аналогично, n 2 =...= n 6 = n 1 =N/6 . Отсюда x ¯ M x = 1+2+...+6 6 =3,5 .

Игральные кости

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk.

Математическое ожидание  Mx случайной величины x равно M x = i=1 k p i x i .

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как <x>. Записи <x> и Mx эквивалентны.

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей:

123
00,20,8

Значит, x &macr; =1ċ0+2ċ0,2+3ċ0,8=2,8 .

Ответ. 2,8.

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

Медианой случайной величины называют число x1/2 такое, что p (x < x1/2) = 1/2.

Другими словами, вероятность p1 того, что случайная величина x окажется меньшей x1/2, и вероятность p2 того, что случайная величина x окажется большей x1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x, которая может принимать значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk.

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D x = ( x- M x ) 2 ¯ .

Используя вероятности pi того, что величина x принимает значения xi, эту формулу можно переписать следующим образом:

D x = i=1 k p i   ( x i - M x ) 2 .

Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины: σ= D x .

В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x.

Имеем: Dx = 0 ċ (1 – 2,8)2 + 0,2 ċ (2 – 2,8)2 + 0,8 ċ (3 – 2,8)2 = 0,16. σ= Dx = 0,16 =0,4.

Ответ. 0,16, 0,4.

Стрельба в мишень

Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так:

123456
1/61/61/61/61/61/6

Математическое ожидание Mx = 3,5 (см. пример в начале параграфа).

С вероятностью 1/2 случайная величина x ≤ 3. С такой же вероятностью x ≥ 4. Таким образом, медианой случайной величины является любое число из интервала (3; 4). Обычно в качестве медианы указывают среднее значение из этого интервала: x1/2 = 3,5. В нашем случае медиана совпала с математическим ожиданием, в других распределениях это не так.

Дисперсия: D x = 1 6 ( (1-3,5) 2 + (2-3,5) 2 + (3-3,5) 2 + (4-3,5) 2 + (5-3,5) 2 + (6-3,5) 2 ) = 35 12 2,9.

Среднеквадратичное отклонение σ= D x = 35 12 1,7 . Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико.

  • Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий: Mx + y = Mx + My.
  • Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: Mx ċ y = Mx ċ My.

 

Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках.

В примере 3 мы нашли, что для одного кубика M (x) = 3,5. Значит, для двух кубиков Mx + y = Mx + My = 7, Mxy = Mx ċ My = 3,52 = 12,25.

  • Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий: Dx + y = Dx + Dy.

 

Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при бросании кубика N раз.

Случайный процесс можно представить как сумму единичных бросков. Для единичного броска Mx = 3,5, Dx = 2,9,

Пусть за N бросков на кубике выпало y очков. Тогда My = 3,5 N,
D y 2,9N,
σ y 1,7 N .

Если z – среднее количество очков, выпавших на кубике за N бросков: z= y N , то: M z = M y N =3,5,
σ z = σ y N 1,7 N .

Этот результат верен не только для бросков кубика. Он во многих случаях определяет точность измерения математического ожидания опытным путем. Видно, что при увеличении количества измерений N разброс значений вокруг среднего, то есть среднеквадратичное отклонение, уменьшается пропорционально 1 N .

 

Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением: D x = σ 2 = M x 2 - ( M x ) 2 .

Действительно, ( x- M x ) 2 = x 2 -2x M x + ( M x ) 2 .

Найдём математические ожидания обеих частей этого равенства. По определению, M ( x- M x ) 2 = D x . Математическое же ожидание правой части равенства по свойству математических ожиданий равно M x 2 -2 M x M x + ( M x ) 2 = M x 2 - ( M x ) 2 .





 

© Физикон, 1999-2015