Учебник. Условная вероятность




Условная вероятность

До сих пор мы рассматривали независимые события: действительно, число, выпавшее на грани кубика, никак не зависит от предыдущего броска. Но рассмотрим другой случай.

Пусть пять учеников вытягивают на экзамене пять билетов, один из которых очень лёгкий. Какова вероятность для того, кто идёт третьим, вытащить удачный билет?

Очевидно, она зависит от того, что попалось предыдущим ученикам. Назовём первых трёх учеников A, B, C, вероятности удачного исхода для каждого из них обозначим через p (A), p (B), p (C), а неудачного – p ( A ¯ ) p ( B ¯ ) p ( C ¯ ) Рассмотрим поочередно все возможные случаи.
  • Пусть первый ученик вытянул лёгкий билет. Вероятность этого p (A) = 1/5. Тогда для третьего ученика вероятность удачи p (C) равна нулю.
  • Пусть первый ученик не вытянул лёгкий билет, вероятность этого p ( A ¯ ) =4/5 . Пусть второй ученик вытянул лёгкий билет; поскольку он тянул его уже из 4 возможных вариантов, вероятность этого p ( B| A ¯ )   p ( A ¯ ) = 4 5 ċ 1 4 = 1 5 . Тогда, опять же, третьему лёгкий билет не попадётся.
  • Пусть второй ученик не вытянул лёгкий билет, вероятность этого p ( B ¯ | A ¯ )   p ( A ¯ ) = 4 5 ċ 3 4 = 3 5 . Тогда у третьего ученика вероятность удачного исхода равна p ( C | A ¯ B ¯ )   p ( A ¯ B ¯ ) = 3 5 ċ 1 3 = 1 5 , поскольку он тянет билет уже из трёх оставшихся.

Мы видим, что вероятность вытянуть лёгкий билет одинакова для всех учеников. Посмотрим внимательнее, как мы рассчитывали вероятность для третьего ученика вытянуть удачный билет. Мы перемножали три вероятности: вероятность того, что третий вытянет нужный билет, и вероятности того, что ни первый, ни второй его не вытянут. Вероятность события A при условии того, что событие B произошло, называется условной вероятностью и обозначается p (A | B). В нашем примере p ( B| A ¯ ) = 1 4 p ( B|A ) =0 p ( C| A ¯ B ¯ ) = 1 3 p ( C| A ¯ B ) =p ( C|A B ¯ ) =0 . Вероятность того, что второй ученик вытянул лёгкий билет, p ( A ¯ B ) =p ( A ¯ )  p ( B| A ¯ ) = 4 5 ċ 1 4 = 1 5 .

Напомним, что: p (AB) = p (B) ċ p (A | B).

 

Для условной вероятности можно записать так называемую формулу полной вероятности: p (B) = p (B | A1) p (A1) + p (B | A2) p (A2) + p (B | A3) p (A3) + … + p (B | Ak) p (Ak).

Здесь A1, A2, A3, …, Ak – попарно несовместные события, сумма A1 + A2 + A3 + … + Ak – достоверное событие.

Таким образом, для вычисления полной вероятности события B нужно перечислить все условия Ai, при которых может наступить B, и перемножить вероятности этих условий на соответствующие им условные вероятности p (B | Ai).

В случае, когда события независимы, p (AB) = p (B | A) ċ p (A) = p (B) ċ p (A).

Вернемся к примеру с пятью билетами. Допустим, что после того, как ученик взял билет, он кладёт его обратно. Поставим два вопроса: какова вероятность того, что третьему ученику попадётся самый простой билет, и какова вероятность того, что он достанется первым трём ученикам?

Напомним, что, по определению независимых событий, p (AiAk) = p (Ai) p (Ak).

Если билеты возвращаются обратно, то мы имеем дело с независимыми событиями. Тогда безо всяких вычислений ясно, что для третьего ученика вероятность удачи равна 1/5, для всех троих – (1/5)3. Таким образом, для независимых событий p (ABC) = p (A) ċ p (B) ċ p (C).

 

Можно привести и другую формулировку формулы полной вероятности.

Обозначим вероятность того, что событие B вызвано именно событием A1, p (x). Для того, чтобы вычислить p (x), разделим количество случаев B, вызванных A1, на общее количество случаев B. Получим: (x) = (B| A 1 ) p ( A 1 ) (B| A 1 ) p ( A 1 )+ p  (B| A 2 ) p ( A 2 )+...+ p  (B| A k ) p ( A k ) .

Пусть событие B может быть вызвано набором причин Ai. Тогда вероятность того, что к событию B привело событие Ai, пропорциональна произведению вероятности соответствующей причины на вероятность следствия.

Пусть из 10 урн в 5 урнах лежат только белые шары, в 2 урнах – только чёрные, а в 3 – одинаковое количество чёрных и белых шаров. Вытащим из произвольной урны один шар. Обозначим через A1 тот факт, что мы вытащили шар из первых пяти урн, через A2 – то, что мы вытащили шар из 2 урн с чёрными шарами, через A3 – то, что мы вытащили шар из одной из «смешанных» урн. Вероятность того, что вытаскивается белый шар (событие B), равна: p ( B ) =p ( B| A 1 )   p ( A 1 ) +p ( B| A 2 )   p ( A 2 ) +p ( B| A 3 )   p ( A 3 ) =1ċ 5 10 +0ċ 2 10 + 1 2 ċ 3 10 =0,65 .

Тогда, если мы вытащили белый шар, то:

  • с вероятностью p 1 = p ( A 1 )   p ( B| A 1 ) p ( B ) = 5 10 ċ1 0,65 = 10 13 0,77 этот шар – из урн, в которых лежат только белые шары;
  • с вероятностью p 2 = p ( A 2 )   p ( B| A 2 ) p ( B ) = 2 10 ċ0 0,65 =0 этот шар – из урн, в которых лежат только чёрные шары;
  • с вероятностью p 3 = p ( A 3 )   p ( B| A 3 ) p ( B ) = 3 10 ċ 1 2 0,65 = 3 13 0,23 этот шар – из урн, в которых лежат и белые, и чёрные шары.

В игорном клубе половина игроков честные, половина – шулеры. Вероятность вытащить из колоды короля равна 1/8. Для шулера эта вероятность равна 1. Сидящий перед вами игрок вытаскивает из колоды короля с первого раза. С какой вероятностью перед вами шулер?

Пусть событие A заключается в том, что из колоды вытянут король, B – в том, что игрок шулер. Тогда событие B ¯ заключается в том, что игрок честный, и p (A | B) = 1,  p ( A| B ¯ ) = 1 8 . Если взять первого попавшегося игрока, то он вытянет короля с вероятностью p ( A ) =p ( B ) ċp ( A|B ) +p ( B ¯ ) ċp ( A| B ¯ ) = 1 2 ċ1+ 1 2 ċ 1 8 = 9 16 . Обозначим через X событие, заключающееся в том, что игрок, вытянувший короля, – шулер. Тогда p ( X ) = p ( B ) ċp ( A|B ) p ( A ) = p ( B ) ċp ( A|B ) p ( B ) ċp ( A|B ) +p ( B ¯ ) ċp ( A| B ¯ ) = 1 2 ċ1 9 16 = 8 9 .

Пуанкаре комментирует задачу словами, что, к счастью, обычно шулеров гораздо меньше, чем честных игроков.

Понятие «условная вероятность» требует введения четвёртой, последней аксиомы вероятностей:

4. Аксиома умножения вероятностей. Вероятность произведения событий p (AB) = p (B | A) p (A).





 

© Физикон, 1999-2015