Учебник. События и вероятности




События и вероятности

Все задачи курса теории вероятностей связаны с многократным повторением испытаний и фиксацией результата испытаний – событий. Рассмотрим различные события на примере бросков игрального кубика – A. Будем обозначать тот факт, что на кубике выпало некоторое число от 1 до 6, буквой A с индексом, обозначающим выпавшее число. Так, A3 обозначает, что при броске кубика A выпало число 3.

  • В нашем случае события A1, A2, A3, A4, A5, A6 образуют множество элементарных событий. Для них верно i p i =1 .

    Для бросков кубика класс элементарных событий может быть выбран и так: событие C1 заключается в том, что выпала грань с чётным количеством очков, C2 – с нечётным. Тогда p (C1) + p (C2) = 1. А вот класс, состоящий из событий «выпало чётное количество очков», «выпала единица», «выпала двойка», «выпала тройка», не является элементарным, хотя для них i p i =1 . Это связано с тем, что событие «выпало 2» относится сразу к двум событиям этого класса: «выпало чётное количество очков» и «выпала двойка».

  • К классу возможных событий относятся все подмножества множества элементарных событий. Например, при броске «выпало 1 или 2», «выпало 3» и т. д.

  • Невозможное событие (O) определяется как событие, не входящее в класс возможных. В нашем случае это, например, «не выпало ничего» или «на кубике A выпало число 7». Вероятность невозможного события равна p (O) = 0.

  • Достоверное событие (I): случилось хотя бы одно событие из класса возможных. В нашем случае достоверно то, что на каждом из кубиков A и B выпадет любое число от 1 до 6. Вероятность достоверного события равна p (I) = 1.

  • Событие, противоположное событию A, обозначается как A ¯ и состоит в том, что в результате испытания A не произошло. Например, в нашем случае A ¯ 1 значит, что на кубике A выпало число, не равное 1.

    Сумма вероятностей события и его отрицания есть достоверное событие, то есть p ( A ) +p ( A ¯ ) =1 .

    Выпишем все возможные результаты броска кубика A: A1, A2, A3, A4, A5, A6. В этом случае общее число равновероятных вариантов N = 6, при этом A 1 встречается N ( A 1 ) =1 раз, «не 1» – N ( A ¯ 1 ) =5 раз . Значит, p ( A 1 ) =1/6,   p ( A ¯ 1 ) =5/6 . p ( A ) +p ( A ¯ ) =1 .

    Вообще, поскольку все возможные варианты заключаются либо в событии A, либо в событии «не A», то p ( A ) +p ( A ¯ ) = N (A) N + N ( A ¯ ) N = N (A) N + N-N (A) N =1

  • Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно. Например, события A1 и A2 являются несовместными: на кубике A не могут одновременно выпасть 1 и 2.

  • Суммой событий A и B называется событие, при котором произошло или A, или B, обозначается оно A + B. Например, A1 + A5 означает, что на кубике A выпало или 1, или 5. Можно доказать, что вероятности несовместных событий складываются, то есть, если бросать только кубик A, то p (A1 + A5) = p (A1) + p (A5) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

    Выпишем все возможные результаты броска кубика A: A1, A2, A3, A4, A5, A6. Действительно, вариантов с выпадением 1 или 5 два, всего вариантов шесть, получаем p (A1 + A5) = 2/6 = 1/3.

    Пусть из N возможных исходов a вариантов приводят к событию A, b вариантов – к событию B, причём A и B несовместны. Тогда p ( A+B ) = a+b N = a N + b N =p (A)+p (B) .

Если бросать одновременно два кубика A и B, то событием будет пара чисел (a, b), выпавших на кубиках A и B соответственно. Обозначим это событие AaBb. Например, A1B5 означает, что мы бросили два кубика одновременно, на кубике A выпало 1, а на B выпало 5.

  • Произведением событий A и B называется событие, при котором произошло и A, и B, обозначается оно AB.

  • Независимыми называются события A и B, если вероятность события A не зависит от того, наступило событие B или нет. Например, при броске двух кубиков A1 и B5 – независимые события. Вероятность произведения независимых событий равна произведению соответствующих вероятностей. Вообще, равенство p (AiAk) = p(Ai) p(Ak) является определением независимых событий.

    При бросании кубика A может наступить 6 различных исходов, а при бросании кубика B – тоже 6. Из комбинаторики мы знаем, что количество вариантов, возникающих при бросании двух кубиков (A1B1, A1B2 и так далее), равно произведению количества исходов для кубиков A и B в отдельности, то есть 6 ċ 6 = 36. Поскольку все такие исходы равновероятны, то каждый из них может наступить с вероятностью 1/36.

    В нашем случае p (A1B5) = p (A1) p (B5) = 1/6 ċ 1/6 = 1/36.

  • Если вероятность наступления события A зависит от того, наступило событие B или нет, события называют зависимыми и вводят понятие условной вероятности. Условной вероятностью события A при условии того, что произошло событие B, называют величину (A|B )= (AB) (B) . Соответственно, для зависимых событий p (AB) = p (B) p (A | B).

К каким классам событий (возможное, невозможное, достоверное) относятся: а) расстояние между двумя произвольными городами меньше, чем 50 тысяч километров; б) наугад выбранное слово русского языка заканчивается буквами «нзо»; в) Вася выиграет в лотерее?

Первое из событий достоверное, а второе – невозможное. Третье событие может произойти, а может не произойти – оно является возможным, но не достоверным.

Укажите события, противоположные данным: а) на кубике выпало 1; б) Света получила на экзамене «5»; в) после ночи наступает утро?

а) На кубике не выпало 1; б) Света не получила на экзамене «5» (в том случае, если Света сдавала экзамен, то можно утверждать, что Света получила какую-то другую оценку); в) после ночи не наступает утро. Заметим, что событие, противоположное событию в) является невозможным (во всяком случае, в нашей обыденной жизни).

Совместны ли события: а) на первом кубике выпало 1, а на втором – 2; б) Юра пошёл в школу, а завтра будет дождь; в) Иванов в настоящее время является президентом страны, и Петров является президентом той же страны.

Пара событий из примера а) совместна, так как может произойти одновременно. Точно так же совместна и пара событий б). Пара событий в) несовместна, так как не может произойти одновременно.

Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. (Пример взят из книги Г. Секея «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике».) Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p (AC) = 1/4 = p(A) p(C), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Теперь, ознакомившись с языком теории вероятностей, мы можем дать более строгое определение вероятности и выписать основные её свойства.

Вероятностью события p(A) называется некоторая действительная функция, определённая на классе возможных событий E и удовлетворяющая следующим трём аксиомам, сформулированным А. Н. Колмогоровым.

  1. Аксиома неотрицательности. Для любого A из E вероятность p (A) ≥ 0.
  2. Аксиома нормированности. Вероятность достоверного события p (I) = 1.
  3. Аксиома аддитивности. Для любой (конечной или бесконечной) последовательности попарно несовместных событий A, B, C… вероятность их суммы p (A + B + C + …) = p (A) + p (B) + p (C) + …

Из перечисленных аксиом можно вывести следующие свойства вероятностей.

  • Для любого A из E верно: 1 ≥ p (A) ≥ 0. В частности, вероятность невозможного события p (O) = 0.
  • Если событие A влечёт за собой событие B, то p(A) < p(B).
  • Вероятность события A и вероятность противоположного события A ¯ связаны соотношением p ( A ) +p ( A ¯ ) =1 .
  • p (A + B) = p (A) + p (B) – p (AB). Для несовместных событий p (A + B) = p (A) + p (B).
  • p (AB) = p (B | A) ċ p (A).

 

Пассажир ждёт трамвая № 2 или № 7 возле остановки, на которой останавливаются трамваи № 2, № 5, № 7 и № 24. Считая, что трамваи всех маршрутов появляются случайным образом (не по расписанию) одинаково часто, найдите вероятность того, что первый подошедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута.

Ясно, что вероятность того, что первым подойдёт трамвай № 2, равна 1 4 . Такова же вероятность, что первым подойдёт трамвай № 7. Искомая вероятность, следовательно, равна 1 4 + 1 4 = 1 2 .

Ответ.  1 2 .

Пусть для некоторого стрелка вероятность попадания в область 1 мишени, изображённой на рисунке, равна 0,25, а вероятность попадания в область 2 – 0,15. Какова вероятность того, что стрелок попадёт либо в область 1, либо в область 2?

По правилу сложения вероятностей получаем, что искомая вероятность

P = 0,25 + 0,15 = 0,4.

Ответ. 0,4.





 

© Физикон, 1999-2015