Учебник. Операции над множествами




Операции над множествами

Рассмотрим некоторое множество E, которое будем называть основным, и не будем интересоваться его природой. Будем считать, что все множества, которые рассматриваются в данном пункте, являются подмножествами основного множества.

Объединением двух множеств A и B называется множество A ∪ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.

Аналогично определяется пересечение и объединение любого числа множеств.

Для удобства множества изображают в виде кругов, а основное множество в виде прямоугольника, их содержащего. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера–Венна.

Множества на плоскости

Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти AB и AB .

AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 19}, AB = {1, 3, 5, 7, 9}.

Пусть A = [−2; 1] и B = (0; 3). Найти AB и AB .

AB = [−2; 3), AB = (0; 1].

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами.

  • AB=BA

  • (AB)C=A(BC)

  • AA=A

  • (AB)C=(AC)(BC)

  • AB=BA

  • (AB)C=A(BC)

  • AA=A

  • A(BC)=(AB)(AC)

Если BA , то AB=A AB=B .

Например, A=A A= AE=E AE=A .

Следует заметить, что мощность объединения и пересечения двух конечных множеств связаны следующим соотношением: | AB |=| A |+| B |-| AB | (здесь мощность множества A обозначена как |A|).

Для бесконечных множеств это равенство неверно. Если хотя бы одно из множеств A и B бесконечно, то мощность объединения | AB |=max( | A |, | B | ) .

Пусть теперь A и B − некоторые множества в основном множестве E.

Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность между основным множеством E и множеством A называется дополнением множества A в E и обозначается A ¯ .

Кратко это можно записать так: A ¯ ={xExA}A\\B={xExAxB}.

Очевидно, что A A ¯ = A A ¯ = E ,  ( A ¯ ) ¯ =A для любого AE .

Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти A \ B и B \ A.

A \ B = {2, 4, 6, 8}.

B \ A = {11, 13, 17, 19}.

Для любых двух множеств A и B основного множества E справедливы законы де Моргана.

  • AB ¯ = A ¯ B ¯ .
  • AB ¯ = A ¯ B ¯ .

Законы де Моргана можно проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера–Венна.





 

© Физикон, 1999-2015