Учебник. Понятие множества




Понятие множества

Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т. д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников. Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N, ..., а элементы этих множеств − аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n, ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,

  • − множество целых чисел;
  • − множество рациональных чисел;
  • 𝕀 − множество иррациональных чисел;
  • − множество действительных чисел;
  • ℂ − множество комплексных чисел.

Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: a A.

Множество считается заданным, если для любого объекта можно определить, принадлежит ли этот объект множеству или нет.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается . Если A есть пустое множество, то пишут: A = .

Если любой элемент множества A является элементом другого множества B, то говорят, что A есть подмножество множества B, и пишут: A ⊂ B.

Например, множество всех натуральных чисел является подмножеством всех действительных чисел . Из определения непосредственно следует, что A ⊂ A, то есть всякое множество является подмножеством самого себя.

Если A ⊂ B, а B ⊂ A, то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.

В математике часто приходится иметь дело с числовыми множествами. Приведём определения и обозначения множеств, которые имеют общее название числовых промежутков.

Название промежуткаОпределениеОбозначение
Отрезок от a до b (замкнутое множество)a ≤ x ≤ b[a; b]
Интервал от a до b (открытое множество)a < x < b(a; b)
Открытый слева промежуток от a до ba < x ≤ b(a; b]
Открытый справа промежуток от a до ba ≤ x < b[a; b)
Закрытый числовой луч от a до +∞x ≥ a[a; +∞)
Открытый числовой луч от a до +∞x > a(a; +∞)
Закрытый числовой луч от −∞ до ax ≤ a(−∞; a]
Открытый числовой луч от −∞ до ax < a(−∞; a)
Числовая прямая−∞ < x < +∞

Задайте перечислением множество B = {x: x2 − 2x + 1 = 0}. Это стандартная запись для задания множества, читается она так: множество элементов x таких, что x2 − 2x + 1 = 0.

Так как уравнение x2 − 2x + 1 = 0 имеет единственный корень x = 1, то множество B состоит из одного элемента B = {1}.

Ответ. B = {1}.

Определите множество A натуральных чисел, меньших   1 2 .

Так как любое натуральное число больше 1 и тем более   1 2 , то натуральных чисел, обладающих указанным свойством, не существует, и A =  .

Ответ. A =  .





 

Эвакуатор павловская
Дешевые эвакуаторы. Продажа техники. Сравните цены и выберите дешевле
mmcbu.ru
© Физикон, 1999-2015