Учебник. Метод замены неизвестных при решении систем




Метод замены неизвестных при решении систем

Метод замены неизвестных при решении систем уравнений аналогичен этому же методу для обычных алгебраических уравнений. Продемонстрируем его на примерах.

Решите систему уравнений { ax+by bx+ay + bx+ay ax+by =2,  x+1 y + y x+1 = 5 2 .

В этой системе очевидна замена u= ax+by bx+ay и v= x+1 y . Заметив, что u > 0 и v > 0, для новых переменных получаем систему { u+ 1 u =2,  v+ 1 v = 5 2 .

Из первого уравнения: u 2 +1=2u u 2 -2u+1= ( u-1 ) 2 =0 u=1 . Второе уравнение имеет два решения: 2 v 2 +2=5v 2 v 2 -5v+2=0 v 1 =2,  v 2 = 1 2 .

Итак, u= ax+by bx+ay =1 ax+by=bx+ay ( a-b ) x=( a-b ) y . Получаем два случая.

1) a = b. Имеем x+1 y =2 , или x+1 y = 1 2 . Эти уравнения равносильны соответственно следующим: x+1=4y и y=4( x+1 ) причём из исходной системы видно, что x-1, y0 . Итак, в этом случае решениями являются все точки, лежащие на прямых x+1=4y и y=4( x+1 ) кроме точки с координатами (–1, 0).

2) ab x=y . В этом случае система равносильна двум.

a) { x=y x+1 y =4 x=y= 1 3 .

b) { x=y x+1 y = 1 4 x=y=- 4 3 .

Ответ. Если a = b, то решениями являются все точки прямых x+1=4y и y=4( x+1 ) кроме точки с координатами (–1, 0). Если a ≠ b, то ( 1 3 1 3 ) и ( - 4 3 - 4 3 ) .

Решите систему уравнений { x+y + 2x+y+3 =7,  3x+2y=22.

Делаем очевидную замену неизвестных u= x+y и v= 2x+y+3 . Тогда u 2 =x+y v 2 =2x+y+3 . Выразим x и y: x= v 2 - u 2 -3, y=2 u 2 - v 2 +3 . Получаем систему { u+v=7,  3( v 2 - u 2 -3 ) +2 ( 2 u 2 - v 2 +3 ) =22. { u+v=7,  u 2 + v 2 =25. { v=7-u u 2 + v 2 =25. А эту систему легко решить подстановкой: u 2 + ( 7-u ) 2 =25 u 2 -7u+12=0 . Корни системы: u 1 =3 и u 2 =4 . Находим соответственно v 1 =4 и v 2 =3 . Имеем два случая:

1. u =3,  v =4 . Тогда x= v 2 - u 2 -3=4 и y=2 u 2 - v 2 +3=5.

2. u =4,  v =3 . Тогда x= v 2 - u 2 -3=-10 и y=2 u 2 - v 2 +3=26.

Ответ.  ( 45 ) , ( -1026 ).





 

Управление web камерой для видеонаблюдения через интернет powsav.ru
powsav.ru
© Физикон, 1999-2015