Учебник. Симметрические системы




Симметрические системы

Функция ( xy ) называется симметрической, если для всех x и y выполнено равенство ( xy ) =( yx ) .

Многочлен от двух переменных вида ( xy ) =3 x 2 -2xy+3 y 2 +15 является симметрической функцией. В самом деле, ( yx ) =3 y 2 -2yx+3 x 2 +15=3 x 2 -2xy+3 y 2 +15=( xy ) .

Функция ( xy ) = x 2 + y 2 + 2 ( x-y ) 2 -1 | x-y | является симметрической. В самом деле, ( xy ) = y 2 + x 2 + 2 ( y-x ) 2 -1 | y-x | = x 2 + y 2 + 2 ( x-y ) 2 -1 | x-y | =( xy ) .

Оказывается, справедлива замечательная теорема о симметрических многочленах.

Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в виде функции от двух основных симметрических многочленов ( xy ) =x+y , ( x, y ) =xy.

Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция двух переменных φ (u, v), что ( xy ) =φ ( ( xy ) ( xy ) ) .

Доказательство этого факта хотя и доступно школьнику, но далеко выходит за рамки школьного курса, поэтому мы приведём лишь примеры, которые иллюстрируют применение этой теоремы.

Функция ( x, y ) = x 2 + y 2 может быть преобразована следующим образом: ( xy ) = x 2 + y 2 = ( x+y ) 2 -2xy=φ ( ( xy ) ( xy ) ) , где φ ( uv ) = u 2 -2v .

Функция ( xy ) = x 3 + y 3 может быть преобразована следующим образом: ( xy ) = x 3 + y 3 =( x+y ) ( x 2 -xy+ y 2 ) =( x+y ) ( ( x+y ) 2 -3xy ) =φ ( ( xy ) ( xy ) ) , где φ( uv ) =u( u 2 -3v ) .

Аналогично, симметрическая функция трёх переменных определяется как функция, которая не изменяет своего значения при произвольных перестановках своих аргументов, то есть ( xyz ) =( xzy ) =( yxz ) =( yzx ) =( zxy ) =( zyx ) .

Для симметрических многочленов трёх переменных справедлива точно такая же теорема, как и для многочленов двух переменных, а именно:

Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов: ( xyz ) =x+y+z ( xyz ) =xy+yz+zx ( xyz ) =xyz.

Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных θ (u, v, w), что ( xy ) =θ ( ( xyz ) ( xyz ) ( xyz ) ) .

Применим эту теорему для упрощения систем уравнений.

Решите систему уравнений { x 3 y+x y 3 =10,  x 2 + y 2 =5.

Эта система является симметрической, поэтому делаем стандартную замену u=x+y ,   v=xy . Поскольку x 3 y+x y 3 =xy( x 2 + y 2 ) , а из второго уравнения системы следует, что x 2 + y 2 =5 , то x 3 y+x y 3 =xy( x 2 + y 2 ) =5xy=5v . Левая часть второго уравнения перепишется так: x 2 + y 2 = u 2 -2v . Относительно u и v получаем систему { 5v=10,  u 2 -2v=5; { v=2,  u 2 =9; [ { v=2,  u=3; { v=2,  u=-3.

Перейдем к переменным x и y:

1) { x+y=3,  xy=2; { y=3-x x( 3-x ) =2; { y=3-x x 2 -3x+2=0; [ { x=1,  y=2; { x=2,  y=1.

2) { x+y=-3,  xy=2; { y=-3-x x( -3-x ) =2; { y=3-x x 2 +3x+2=0; [ { x=-1,  y=-2; { x=-2,  y=-1.

Ответ.  ( ±1; ±2 ) ( ±2; ±1 ) .

Решите систему уравнений { x 3 + y 3 =4,  xy=1.

Эта система – симметрическая, поэтому делаем стандартную замену u = x + y, v = xy. Преобразуем левую часть первого уравнения: x 3 + y 3 =( x+y ) ( x 2 -xy+ y 2 ) =( x+y ) ( ( x+y ) 2 -3xy ) =u( u 2 -3v ) , тогда система принимает вид: { u( u 2 -3v ) =4,  v=1; { u 3 -3u-4=0,  v=1.

Итак, для u получаем уравнение u 3 -3u-4=0 . Вспомним теорему о рациональных корнях многочленов (§ 2.1.5). Рациональные корни нашего уравнения нужно искать среди делителей числа –4. Перебирая все делители, убеждаемся, что рациональных корней у уравнения нет. Однако эта теорема и не была теоремой существования корней. Указанная теорема констатировала лишь следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами существуют рациональные корни (но для них имеется ещё возможность НЕ существовать), то эти корни будут иметь некоторый специальный вид. Тот случай, когда рациональных корней нет, эта теорема и не описывала.

Попробуем найти корни уравнения исходной системы среди иррациональных чисел. Однако для этого придется проявить некоторую изобретательность: стандартная замена для симметрических систем здесь, очевидно не работает.

Возводя второе уравнение в куб, получим: { x 3 + y 3 =4,  x 3 y 3 =1. Таким образом, по теореме Виета, x 3 и y 3 являются корнями квадратного уравнения t 2 -4t+1=0 . Отсюда t 1 =2- 3 и t 2 =2+ 3 . Значит, x 1 = 2- 3 3 ,  y 1 = 2+ 3 3 ;  x 2 = 2+ 3 3 ,  y 2 = 2- 3 3 .

Заметим, что мы нашли один из корней уравнения u 3 -3u-4=0 : u=x+y= 2- 3 3 + 2+ 3 3 .

Ответ.  ( 2- 3 3 2+ 3 3 ) , ( 2+ 3 3 2- 3 3 ) .





 

© Физикон, 1999-2015