Учебник. Однородные системы




Однородные системы

Функция ( x 1 x 2 ... x n ) называется однородной степени k, если для любого действительного t выполнено равенство ( t x 1 t x 2 ...t x n ) = t k ( x 1 x 2 ... x n ) .

Выяснить, является ли функция ( xy ) =7 x 2 y+2005x y 2 + 15 x 3 однородной.

Вычислим ( txty ) =7 ( tx ) 2 ċty+2005txċ ( ty ) 2 + 15 ( tx ) 3 = t 3 ( 7 x 2 y+2005x y 2 + 15 x 3 ) = t 3 ( xy ) .

Значит, функция является однородной третьей степени.

Ответ. Функция является однородной третьей степени.

Выяснить, является ли однородной, и если да, то найти показатель однородности функции ( xy ) = 12 x 2 -πċxy 2 xy+ 2 3 y 2 .

Вычислим, согласно определению, ( txty ) . Имеем ( txty ) = 12 ( tx ) 2 -πċtxċty 2 txċty+ 2 3 ( ty ) 2 = t 2 ( 12 x 2 -πċxy ) t 2 ( 2 xy+ 2 3 y 2 ) = 12 x 2 -πċxy 2 xy+ 2 3 y 2 =( xy ) = t 0 ( xy ) .

Итак, действительно, эта функция является однородной с показателем однородности 0 (или однородная нулевой степени).

Ответ. Функция является однородной с показателем однородности 0.

Если уравнения системы можно представить в виде f n ( x 1 x 2 ,...,  x n )=0 , где f n – однородные функции, то, во-первых, нужно проверить, существуют не является ли решением x n =0 . После того, как установлено отсутствие таких решений (или же все такие решения найдены), вводится стандартная замена переменных t= y x .

Полученное уравнение относительно переменной t, как правило, проще исходных уравнений и может быть легко решено.

Решить систему уравнений { 2 x 2 -xy-3 y 2 =3, 2 x 2 -3xy+2 y 2 =4.

Ни одно из уравнений системы не является однородным, однако в левой части уравнений стоят однородные функции. Применим стандартный приём, который позволяет свести систему такого вида к однородному уравнению. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3 и вычтем из первого уравнения второе. Имеем: 4( 2 x 2 -xy-3 y 2 ) -3 ( 2 x 2 -3xy+2 y 2 ) =2 x 2 +5xy-18 y 2 =3ċ4-4ċ3=0 , 2 x 2 +5xy-18 y 2 =0 . А это уравнение уже однородное. Очевидно, что пара (0; 0) является его решением, однако непосредственной подстановкой можно убедиться, что эта пара не является решением исходной системы уравнений. Значит, разделим уравнение на y 2 . Получим: 2 ( x y ) 2 +5ċ x y -18=0 .

Стандартная замена t= x y приводит нас к квадратному уравнению 2 t 2 +5t-18=0 , корни которого t 1 =2 и t 2 =- 9 2 . Система распалась на две:

1) { x y =2 x=2y 2 x 2 -xy-3 y 2 =3. { x=2y 2 ( 2y ) 2 -( 2y ) y-3 y 2 =3. { x=2y y 2 =1. [ { x=2, y=1 { x=-2, y=-1.

2) { x y =- 9 2 x=- 9 2 y 2 x 2 -xy-3 y 2 =3. { x=- 9 2 y 2 ( - 9 2 y ) 2 -( - 9 2 y ) y-3 y 2 =3. { x=- 9 2 y y 2 = 1 14 . [ { x=- 9 2 14 y= 1 14 { x= 9 2 14 y=- 1 14 .

Ответ.  ( ±2; ±1 ) ,   ( ± 9 2 14 + ¯ 1 14 ) .





 

© Физикон, 1999-2015