Учебник. Система линейных уравнений

ГЛАВНАЯ

  

НОВОСТИ

  

УЧЕБНИК

  

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ


Система линейных уравнений

Если поставлена задача найти такие числа x 1 ,  x 2 ,  x 3 , ...,  x n , n∈ℕ , которые удовлетворяли бы сразу всем n уравнениям { f 1  ( x 1 ,  x 2 , ...,  x n ) =0,  f 2  ( x 1 ,  x 2 , ...,  x n ) =0, ................... f n  ( x 1 ,  x 2 , ...,  x n ) =0 и обращали бы их в верные числовые равенства, то говорят, что задана система из n уравнений с n неизвестными. В школьной практике, как правило, встречаются системы с двумя и тремя неизвестными, хотя, разумеется, бывают и исключения.

Наиболее распространённым методом решения этих систем является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса), который для линейных функций f 1 ,  f 2 , ...,  f n может быть представлен в виде алгоритма, являющегося наиболее общим.

Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений

  1. Выражаем первое неизвестное из первого уравнения и подставляем его в остальные уравнения.
  2. Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на 1 меньше.
  3. С новой системой поступаем таким же образом и так продолжаем до тех пор, пока не останется одно линейное уравнение, которое легко решается.
  4. Когда получено значение последнего неизвестного xn, подставляем его в уравнение, которое позволяет найти xn – 1 по xn.
  5. По найденным xn – 1 и xn находим xn – 2 и таким образом находим последовательно все неизвестные.

Для систем нелинейных уравнений этот метод не всегда применим уже в силу того, что из уравнений системы совсем не обязательно можно будет выразить одну неизвестную через остальные.

Решить систему уравнений { 2x+3y+z=2,  3x+y+2z=7,  x+2y+3z=3.

Выразим из первого уравнения переменную x: x=1- 3 2 y- 1 2 z и подставим её во второе и третье уравнения: { x=1- 3 2 y- 1 2 z, 3( 1- 3 2 y- 1 2 z ) +y+2z=7,  ( 1- 3 2 y- 1 2 z ) +2y+3z=3. ⇔ { x=1- 3 2 y- 1 2 z,  - 7 2 y+ 1 2 z=4,  1 2 y+ 5 2 z=2. ⇔ { x=1- 3 2 y- 1 2 z,  z-7y=8,  y+5z=4.

Выразим теперь из второго уравнения переменную z=8+7y и подставим её в третье уравнение системы: { x=1- 3 2 y- 1 2 z,  z=8+7y,  y+5z=4. ⇔ { x=1- 3 2 y- 1 2 z,  z=8+7y,  y+5( 8+7y ) =4.

Теперь третье уравнение зависит только от y и мы можем его решить: y+5( 8+7y ) =4⇔ y+40+35y=4⇔ 36y=-36⇔ y=-1.

Итак, переменная y найдена. По уже полученным формулам для x и z мы можем последовательно их найти: z=8+7y=8-7=1 , x=1- 3 2 y- 1 2 z=1- 3 2 ( -1 ) - 1 2 1=1+ 3 2 - 1 2 =2 .

Ответ. (2; –1; 1).

Этот метод иногда можно применить и для решения нелинейных систем.

Решить систему уравнений { 2 x 2 +y-z=-1,  z+y-2x=1,  x 4 +zy-y=1.

Выразим z из второго уравнения: z = 1 + 2x – y и подставим его в первое и третье уравнения. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными: { 2 x 2 +y-( 1+2x-y ) =-1,  x 4 +( 1+2x-y ) y-y=1. ⇔ { x 2 -x+y=0,  x 4 +2xy- y 2 =1.

Опять из первого уравнения выражаем y (её легче выразить, чем x): y=x- x 2 . Подставляем y во второе уравнение и получаем: x 4 +2x( x- x 2 ) - ( x- x 2 ) 2 =1⇔ x 2 =1⇔ x 1, 2 =±1.

Теперь по найденному x находим y и z: x 1 =1⇒ y 1 = x 1 - x 1 2 =0;  z 1 =1+2 x 1 - y 1 =3. x 2 =-1⇒ y 2 = x 2 - x 2 2 =-2;  z 2 =1+2 x 2 - y 2 =1.

Ответ. (1; 0; 3), (–1; –2; 1).
 

 

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

 

 

 

© Физикон, 1999-2015