Учебник. Показательные и логарифмические неравенства




Показательные и логарифмические неравенства

Рассмотрим неравенство a (x) > a (x) , a>0, a1 и неравенство, ему равносильное: a (x) - a (x) >0 . Для его решения исследуем знак разности a (x) - a (x) . Итак, выясним, что следует из того, что a (x) - a (x) >0 .

1) Если a > 1, то f (x) > g (x), а это значит, что (a – 1)(f (x) – g (x)) > 0.

2) Если 0 < a < 1, то f (x) < g (x), и опять (a – 1)(f (x) – g (x)) > 0.

Верно и обратное. Если ( a-1 ) ( (x) -(x) ) >0 , то при a>1 имеем (x) >(x) , то есть a (x) > a (x) , а при 0<a<1 получаем (x) <(x) , то есть a (x) > a (x) .

Таким образом, мы доказали, что:

Знак разности a (x) - a (x) совпадает со знаком выражения ( a-1 ) ( (x) -(x) ) .

А это как раз обозначает, что получено условие равносильности: a (x) > a (x) ( a-1 ) ( (x) -(x) ) >0 .

Решение показательных неравенств

Решить неравенство ( 2 x 2 -2 ) ( 3 x - 1 3 ) ( 5 x 2 - 1 25 ) ( 2 x -1 ) ( 3 x -9 ) ( 4 x 2 -16 ) 0 .

Имеем: ( 2 x 2 - 2 1 ) ( 3 x - 3 -1 ) ( 5 x 2 - 5 -2 ) ( 2 x - 2 0 ) ( 3 x - 3 2 ) ( 4 x 2 - 4 2 ) 0 . Заменим выражение вида a (x) - a (x) , стоящее в каждой скобке, на выражение ( a-1 ) ( (x) -(x) ) , имеющее с ним тот же знак: ( 2-1 ) ( x 2 -1 )ċ ( 3-1 ) ( x+1 )ċ ( 5-1 ) ( x 2 +2 ) ( 2-1 ) ( x-0 )ċ ( 3-1 ) ( x-2 )ċ ( 4-1 ) ( x 2 -2 ) 0 .

А значит, ( x 2 -1 ) ( x+1 ) ( x 2 +2 ) x( x-2 ) ( x- 2 ) ( x+ 2 ) = ( x+1 ) 2 ( x-1 ) ( x 2 +2 ) x( x-2 ) ( x- 2 ) ( x+ 2 ) 0 . Равносильное неравенство имеет вид ( x+1 ) 2 ( x-1 ) x( x-2 ) ( x- 2 ) ( x+ 2 ) 0 ,   так как x 2 +2>0 для всех x. Решая это неравенство методом интервалов, получаем

Ответ.  x( -; - 2 ) { -1 }( 0; 1 ]( 2 ; 2 ) .

Решите неравенство 3 ( x+2 ) 2 - 3 x 2 -3 - 9 2x+2 - 1 27 .

Преобразуем неравенство: 3 x 2 ċ 3 4x ċ81- 3 x 2 ċ 1 27 - 3 4x ċ81+ 1 27 0 , 3 4x ċ81( 3 x 2 -1 ) - 1 27 ( 3 x 2 -1 ) =( 3 x 2 -1 ) ( 3 4x+4 - 3 -3 ) 0 .

От выражений вида a ( x ) - a ( x ) перейдём к выражениям ( a-1 ) ( ( x ) -( x ) ) , которые имеют тот же знак. ( x 2 -0 ) ( 4x-( -7 ) ) 0 x 2 ( 4x+7 ) 0 x( -; - 7 4 ]{ 0 } .

Ответ.  x( -; - 7 4 ]{ 0} .

Рассмотрим теперь неравенство log a  f ( x ) >0 ( <0 ) , a>0, a1 и найдём соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0.

Если a > 1, то log a  f ( x ) >0 ( <0 ) тогда и только тогда, когда f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), то есть ( a-1 ) ( ( x ) -1 ) >0 ( <0 ) .

Если 0 < a < 1, то log a  f ( x ) >0 ( <0 ) тогда и только тогда, когда f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1), то есть опять ( a-1 ) ( ( x ) -1 ) >0 ( <0 ) .

Верно и обратное, если ( a-1 ) ( ( x ) -1 ) >0 ( <0 ) , то при a > 1 имеем f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности.

log a  f ( x ) >0 ( <0 ) { a>0, a1, ( x ) >0, ( a-1 ) ( ( x ) -1 ) >0 ( <0 ) .

Отсюда следует, что:

log a  f ( x ) > ( <0 ) { a>0, a1, ( x ) >0, ( a-1 ) ( ( x ) -1 ) >( <0 ) .

Знак  log a  f ( x )  совпадает со знаком выражения  ( a-1 ) ( ( x ) -1 )  в ОДЗ (f (x) > 0).

Рассмотрим теперь неравенство вида log a  f ( x ) > log a  g ( x ) , где a>0, a1 . ОДЗ этого неравенства: { ( x ) >0, ( x ) >0.

log a  f ( x ) >( <0 ) { a>0, a1, ( x ) >0, ( a-1 ) ( ( x ) -1 ) >( <0 ) .

Перепишем данное неравенство в виде: loga (f (x) – g(x)) > 0. С учетом ОДЗ можно записать соответствующую неравенству систему уравнений:

log a  f ( x ) > log a  g ( x ) { ( x ) >0, ( x ) >0, ( a-1 ) ( ( x ) -( x ) ) >0.

Знак разности логарифмов  log a  f ( x ) - log a  g ( x )  совпадает со знаком выражения  ( a-1 ) ( ( x ) -( x ) )  в ОДЗ  { ( x ) >0, ( x ) >0.

Решение логарифмических неравенств

Решите неравенство ( log 1/2  x-2 ) ( 3 x 2 -9 ) ( x 2 -5x+6 ) ( log 2  x+1 ) ( log 3  x+4 ) 0 .

Преобразуем неравенство. ( log 1/2  x-2 ) ( 3 x 2 -9 ) ( x 2 -5x+6 ) ( log 2  x+1 ) ( log 3  x+4 ) = ( log 1/2  x- log 1/2  1 4 ) ( 3 x 2 - 3 2 ) ( x-2 ) ( x-3 ) ( log 2  x- log 1 2 ) ( log 3  x- log 1 81 ) 0 .

От выражений вида log a  f ( x ) - log a  g ( x ) перейдём к произведениям ( a-1 ) ( ( x ) -( x ) ) , которые имеют с ними тот же знак в ОДЗ. ( log 1/2  x- log 1/2  1 4 ) ( 3 x 2 - 3 2 ) ( x-2 ) ( x-3 ) ( log 2  x- log 1 2 ) ( log 3  x- log 1 81 ) 0 { x>0, ( 1 2 -1 ) ( x- 1 4 ) ( x 2 -2 ) ( x-2 ) ( x-3 ) ( x- 1 2 ) ( x- 1 81 ) 0; { x>0, ( 1 2 -1 ) ( x- 1 4 ) ( x 2 -2 ) ( x-2 ) ( x-3 ) ( x- 1 2 ) ( x- 1 81 ) 0; { x>0, ( x- 1 4 ) ( x- 2 ) ( x+ 2 ) ( x-2 ) ( x-3 ) ( x- 1 2 ) ( x- 1 81 ) 0.

Пользуясь методом интервалов, легко получить:

Ответ.  x( 0;  1 81 ) [ 1 4 ;  1 2 )[ 2 ; 2 ][ 3; + ) .

Решите неравенство log 1/2 ( 6-x - x 2 + 5 4 ) ċ log 5 ( 1 2 ( 6x-2 x 2 - 5 2 ) ) log 1/5 ( | 1 4 - x 2 |+ 3 2 ) ċ log 2 ( 1 2 ( 6x-2 x 2 - 5 2 ) ) .

Перейдём во всех логарифмах к основанию 2.

log 2 ( 6-x - x 2 + 5 4 ) -1 ċ log 2 ( 3x- x 2 - 5 4 ) log 2  5 log 2 ( | 1 4 - x 2 |+ 3 2 ) - log 2  5 ċ log 2 ( 3x- x 2 - 5 4 ) 1 log 2 ( 3x- x 2 - 5 4 ) { log 2 ( 6-x - x 2 + 5 4 ) - log 2 ( | 1 4 - x 2 |+ 3 2 ) }0 .

Переходя к равносильной системе, заменим разность логарифмов в фигурных скобках на выражение, которое имеет с ним тот же знак в ОДЗ. Кроме того, заменим логарифм, стоящий до фигурной скобки, на выражение, с которым он совпадает по знаку в ОДЗ. log 2 ( 3x- x 2 - 5 4 ) { log 2 ( 6-x - x 2 + 5 4 ) - log 2 ( | 1 4 - x 2 |+ 3 2 ) }0 { 6-x0, 3x- x 2 - 5 4 >0 4 x 2 -12x+5=4( x- 5 2 ) ( x- 1 2 ) <0, 6-x - x 2 + 5 4 = 6-x + 1 2 ( 5 2 -x ) >0, ( 3x- x 2 - 5 4 -1 ) ( 6-x - x 2 + 5 4 -| 1 4 - x 2 |- 3 2 ) 0; { x6, x( 1 2 ;  5 2 ) , 6-x + 1 2 ( 5 2 -x ) >0, т. к. x( 1 2 ;  5 2 ) ( x 2 -3x+ 9 4 ) ( 6-x - x 2 - 1 4 -| 1 4 - x 2 | ) 0.

Так как в ОДЗ x( 1 2 ;  5 2 ) выполнено неравенство x- 1 2 >0 , то | 1 4 - x 2 |= 1 2 | 1 2 -x |= 1 2 ( x- 1 2 ) . С учётом сделанного замечания, последняя система в ОДЗ равносильна следующему уравнению: ( x- 3 2 ) 2 ( 6-x - x 2 - 1 4 - x 2 + 1 4 ) = ( x- 3 2 ) 2 ( 6-x -x ) 0 .

Так как в ОДЗ x > 0, то знак выражения 6-x -x совпадает со знаком функции 6-x- x 2 . ( x- 3 2 ) 2 ( 6-x -x ) 0  ОДЗ ( x- 3 2 ) 2 ( 6-x- x 2 ) 0 ( x- 3 2 ) 2 ( x-3 ) ( x-2 ) 0.

Нанесем решения всех неравенств на числовую прямую и найдем пересечение полученных областей с ОДЗ. Получим:

Ответ.  x{ 3 2 }[ 2;  5 2 ) .





 

ГАЗЦЕНТР
ГАЗЦЕНТР
gascenter.ru
© Физикон, 1999-2015