Открытая Математика. Алгебра. Показательные и логарифмические неравенства

Показательные и логарифмические неравенства

Рассмотрим неравенство $a^{f (x)} > a^{g (x)}, a > 0, a \neq 1$ и неравенство, ему равносильное: $a^{f (x)} - a^{g (x)} > 0 .$ Для его решения исследуем знак разности $a^{f (x)} - a^{g (x)} .$ Итак, выясним, что следует из того, что $a^{f (x)} - a^{g (x)} > 0 .$

1) Если a > 1, то f (x) > g (x), а это значит, что (a – 1)(f (x) – g (x)) > 0.

2) Если 0 < a < 1, то f (x) < g (x), и опять (a – 1)(f (x) – g (x)) > 0.

Верно и обратное. Если $(a - 1) (f (x) - g (x)) > 0,$ то при $a > 1$ имеем $f (x) > g (x),$ то есть $a^{f (x)} > a^{g (x)},$ а при $0 < a < 1$ получаем $f (x) < g (x),$ то есть $a^{f (x)} > a^{g (x)} .$

Таким образом, мы доказали, что:

Знак разности $a^{f (x)} - a^{g (x)}$ совпадает со знаком выражения $(a - 1) (f (x) - g (x)) .$

А это как раз обозначает, что получено условие равносильности: $a^{f (x)} > a^{g (x)} \Leftrightarrow (a - 1) (f (x) - g (x)) > 0 .$

Решение показательных неравенств

Решить неравенство $\frac{(2^{x^{2}} - 2) (3^{x} - \frac{1}{3}) (5^{x^{2}} - \frac{1}{25})}{(2^{x} - 1) (3^{x} - 9) (4^{x^{2}} - 16)} \leq 0 .$

Имеем: $\frac{(2^{x^{2}} - 2^{1}) (3^{x} - 3^{- 1}) (5^{x^{2}} - 5^{- 2})}{(2^{x} - 2^{0}) (3^{x} - 3^{2}) (4^{x^{2}} - 4^{2})} \leq 0 .$ Заменим выражение вида $a^{f (x)} - a^{g (x)},$ стоящее в каждой скобке, на выражение $(a - 1) (f (x) - g (x)),$ имеющее с ним тот же знак: $\frac{(2 - 1) (x^{2} - 1) ċ (3 - 1) (x + 1) ċ (5 - 1) (x^{2} + 2)}{(2 - 1) (x - 0) ċ (3 - 1) (x - 2) ċ (4 - 1) (x^{2} - 2)} \leq 0 .$

А значит, $\frac{(x^{2} - 1) (x + 1) (x^{2} + 2)}{x (x - 2) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})} = \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1) (x^{2} + 2)}{x (x - 2) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})} \leq 0 .$ Равносильное неравенство имеет вид $\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x (x - 2) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})} \leq 0,$ так как $x^{2} + 2 > 0$ для всех x. Решая это неравенство методом интервалов, получаем

Ответ. $x \in (- \infty; - \sqrt{2}) \cup {- 1} \cup (0; 1] \in (\sqrt{2}; 2) .$

Решите неравенство $3^{{(x + 2)}^{2}} - 3^{x^{2} - 3} - 9^{2 x + 2} \leq - \frac{1}{27} .$

Преобразуем неравенство: $3^{x^{2}} ċ 3^{4 x} ċ 81 - 3^{x^{2}} ċ \frac{1}{27} - 3^{4 x} ċ 81 + \frac{1}{27} \leq 0,$ $3^{4 x} ċ 81 (3^{x^{2}} - 1) - \frac{1}{27} (3^{x^{2}} - 1) = (3^{x^{2}} - 1) (3^{4 x + 4} - 3^{- 3}) \leq 0 .$

От выражений вида $a^{f (x)} - a^{g (x)}$ перейдём к выражениям $(a - 1) (f (x) - g (x)),$ которые имеют тот же знак. $(x^{2} - 0) (4 x - (- 7)) \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} (4 x + 7) \leq 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - \frac{7}{4}] \cup {0} .$

Ответ. $x \in (- \infty; - \frac{7}{4}] \cup {0} .$

Рассмотрим теперь неравенство ${log}_{a} f (x) > 0 (< 0), a > 0, a \neq 1$ и найдём соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0.

Если a > 1, то ${log}_{a} f (x) > 0 (< 0)$ тогда и только тогда, когда f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), то есть $(a - 1) (f (x) - 1) > 0 (< 0) .$

Если 0 < a < 1, то ${log}_{a} f (x) > 0 (< 0)$ тогда и только тогда, когда f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1), то есть опять $(a - 1) (f (x) - 1) > 0 (< 0) .$

Верно и обратное, если $(a - 1) (f (x) - 1) > 0 (< 0),$ то при a > 1 имеем f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности.

{log}_{a} f (x) > 0 (< 0) \Leftrightarrow {\begin{array}{l} a > 0, a \neq 1, \\ f (x) > 0, \\ (a - 1) (f (x) - 1) > 0 (< 0) . \end{array}

Отсюда следует, что:

{log}_{a} f (x) > 0 (< 0) \Leftrightarrow {\begin{array}{l} a > 0, a \neq 1, \\ f (x) > 0, \\ (a - 1) (f (x) - 1) > 0 (< 0) . \end{array}

Знак ${log}_{a} f (x)$ совпадает со знаком выражения $(a - 1) (f (x) - 1)$ в ОДЗ (f (x) > 0).

Рассмотрим теперь неравенство вида ${log}_{a} f (x) > {log}_{a} g (x),$ где $a > 0, a \neq 1 .$ ОДЗ этого неравенства: ${\begin{array}{l} f (x) > 0, \\ g (x) > 0. \end{array}$

{log}_{a} f (x) > 0 (< 0) \Leftrightarrow {\begin{array}{l} a > 0, a \neq 1, \\ f (x) > 0, \\ (a - 1) (f (x) - 1) > 0 (< 0) . \end{array}

Перепишем данное неравенство в виде: log_a (f (x) – g(x)) > 0. С учетом ОДЗ можно записать соответствующую неравенству систему уравнений:

${log}_{a} f (x) > {log}_{a} g (x) \Leftrightarrow {\begin{array}{l} f (x) > 0, \\ g (x) > 0, \\ (a - 1) (f (x) - g (x)) > 0. \end{array}$

Знак разности логарифмов ${log}_{a} f (x) - {log}_{a} g (x)$ совпадает со знаком выражения $(a - 1) (f (x) - g (x))$ в ОДЗ ${\begin{array}{l} f (x) > 0, \\ g (x) > 0. \end{array}$

Решение логарифмических неравенств

Решите неравенство $\frac{({log}_{1/2} x - 2) (3^{x^{2}} - 9) (x^{2} - 5 x + 6)}{({log}_{2} x + 1) ({log}_{3} x + 4)} \leq 0 .$

Преобразуем неравенство. $\frac{({log}_{1/2} x - 2) (3^{x^{2}} - 9) (x^{2} - 5 x + 6)}{({log}_{2} x + 1) ({log}_{3} x + 4)} = \frac{({log}_{1/2} x - {log}_{1/2} \frac{1}{4}) (3^{x^{2}} - 3^{2}) (x - 2) (x - 3)}{({log}_{2} x - {log}_{2} \frac{1}{2}) ({log}_{3} x - {log}_{3} \frac{1}{81})} \leq 0 .$

От выражений вида ${log}_{a} f (x) - {log}_{a} g (x)$ перейдём к произведениям $(a - 1) (f (x) - g (x)),$ которые имеют с ними тот же знак в ОДЗ. $\frac{({log}_{1/2} x - {log}_{1/2} \frac{1}{4}) (3^{x^{2}} - 3^{2}) (x - 2) (x - 3)}{({log}_{2} x - {log}_{2} \frac{1}{2}) ({log}_{3} x - {log}_{3} \frac{1}{81})} \leq 0 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 0, \\ \frac{(\frac{1}{2} - 1) (x - \frac{1}{4}) (x^{2} - 2) (x - 2) (x - 3)}{(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{81})} \leq 0; \end{array} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 0, \\ \frac{(\frac{1}{2} - 1) (x - \frac{1}{4}) (x^{2} - 2) (x - 2) (x - 3)}{(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{81})} \leq 0; \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 0, \\ \frac{(x - \frac{1}{4}) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) (x - 2) (x - 3)}{(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{81})} \geq 0. \end{array}$

Пользуясь методом интервалов, легко получить:

Ответ. $x \in (0; \frac{1}{81}) \cup [\frac{1}{4}; \frac{1}{2}) \cup [\sqrt{2}; 2] \cup [3; + \infty) .$

Решите неравенство ${log}_{1/2} (\sqrt{6 - x} - \frac{x}{2} + \frac{5}{4}) ċ {log}_{5} (\frac{1}{2} (6 x - 2 x^{2} - \frac{5}{2})) \geq {log}_{1/5} (| \frac{1}{4} - \frac{x}{2} | + \frac{3}{2}) ċ {log}_{2} (\frac{1}{2} (6 x - 2 x^{2} - \frac{5}{2})) .$

Перейдём во всех логарифмах к основанию 2.

\frac{{log}_{2} (\sqrt{6 - x} - \frac{x}{2} + \frac{5}{4})}{- 1} ċ \frac{{log}_{2} (3 x - x^{2} - \frac{5}{4})}{{log}_{2} 5} \geq \frac{{log}_{2} (| \frac{1}{4} - \frac{x}{2} | + \frac{3}{2})}{- {log}_{2} 5} ċ \frac{{log}_{2} (3 x - x^{2} - \frac{5}{4})}{1} \Leftrightarrow

{log}_{2} (3 x - x^{2} - \frac{5}{4}) {{log}_{2} (\sqrt{6 - x} - \frac{x}{2} + \frac{5}{4}) - {log}_{2} (| \frac{1}{4} - \frac{x}{2} | + \frac{3}{2})} \leq 0 .

Переходя к равносильной системе, заменим разность логарифмов в фигурных скобках на выражение, которое имеет с ним тот же знак в ОДЗ. Кроме того, заменим логарифм, стоящий до фигурной скобки, на выражение, с которым он совпадает по знаку в ОДЗ. ${log}_{2} (3 x - x^{2} - \frac{5}{4}) {{log}_{2} (\sqrt{6 - x} - \frac{x}{2} + \frac{5}{4}) - {log}_{2} (| \frac{1}{4} - \frac{x}{2} | + \frac{3}{2})} \leq 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow {\begin{array}{l} 6 - x \geq 0, \\ 3 x - x^{2} - \frac{5}{4} > 0 \Leftrightarrow 4 x^{2} - 12 x + 5 = 4 (x - \frac{5}{2}) (x - \frac{1}{2}) < 0, \\ \sqrt{6 - x} - \frac{x}{2} + \frac{5}{4} = \sqrt{6 - x} + \frac{1}{2} (\frac{5}{2} - x) > 0, \\ (3 x - x^{2} - \frac{5}{4} - 1) (\sqrt{6 - x} - \frac{x}{2} + \frac{5}{4} - | \frac{1}{4} - \frac{x}{2} | - \frac{3}{2}) \leq 0; \end{array} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow {\begin{array}{l} x \leq 6, \\ x \in (\frac{1}{2}; \frac{5}{2}), \\ \sqrt{6 - x} + \frac{1}{2} (\frac{5}{2} - x) > 0, т. к. x \in (\frac{1}{2}; \frac{5}{2}) \\ (x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}) (\sqrt{6 - x} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} - | \frac{1}{4} - \frac{x}{2} |) \geq 0 . \end{array} \Leftrightarrow$

Так как в ОДЗ $x \in (\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$ выполнено неравенство $x - \frac{1}{2} > 0,$ то $| \frac{1}{4} - \frac{x}{2} | = \frac{1}{2} | \frac{1}{2} - x | = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2}) .$ С учётом сделанного замечания, последняя система в ОДЗ равносильна следующему уравнению: ${(x - \frac{3}{2})}^{2} (\sqrt{6 - x} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}) = {(x - \frac{3}{2})}^{2} (\sqrt{6 - x} - x) \geq 0 .$

Так как в ОДЗ x > 0, то знак выражения $\sqrt{6 - x} - x$ совпадает со знаком функции $6 - x - x^{2} .$ ${(x - \frac{3}{2})}^{2} (\sqrt{6 - x} - x) \geq 0 \overset{ОДЗ}{\Leftrightarrow} {(x - \frac{3}{2})}^{2} (6 - x - x^{2}) \geq 0 \Leftrightarrow {(x - \frac{3}{2})}^{2} (x - 3) (x - 2) \leq 0.$

Нанесем решения всех неравенств на числовую прямую и найдем пересечение полученных областей с ОДЗ. Получим:

Ответ. $x \in {\frac{3}{2}} \cup [2; \frac{5}{2}) .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Показательные и логарифмические неравенства

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ