Учебник. Тригонометрические неравенства




Тригонометрические неравенства

При решении тригонометрических неравенств вида f (x) ≥ 0, где f (x) − одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа sinxa . Разберём на примере, как решать такие неравенства.

Решите неравенство sinx 1 2 .

Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит 1 2 .

Для x [0; 2π] решением данного неравенства будут x[ π 6 ;  5π 6 ]. Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2πn,  n , то sin x также будет не меньше 1 2 . Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2πn, где n . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все x[ π 6 +2πn;  5π 6 +2πn ], где n .

Ответ.  x[ π 6 +2πn;  5π 6 +2πn ], где n .

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.

Решение тригонометрических неравенств

Решите неравенство tg ( π+ x 3 ) +10 .

Обозначим t=π+ x 3 , тогда неравенство примет вид простейшего: tg t ≥ –1. Рассмотрим интервал t( - π 2 ;  π 2 ) длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что t[ - π 4 ;  π 2 ) . Вспоминаем теперь, что необходимо добавить πn, где nℤ, поскольку НПП функции tg x T = π. Итак, t[ - π 4 +πn;  π 2 +πn ) . Возвращаясь к переменной x, получаем, что π+ x 3 [ - π 4 +πn;  π 2 +πn ) x 3 [ - π 4 -π+πn;  π 2 -π+πn ) x 3 [ - 5π 4 +πn;  - π 2 +πn ) x - 15π 4 +3πn;  - 3π 2 +3πn .

Ответ.  x[ - 15π 4 +3πn;  - 3π 2 +3πn ), где n .

Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.

Решите неравенство arctgx π 6 .

Нарисуем график функции y = arctg x. Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой y= π 6 . Это точка с абсциссой x= 1 3 . По графику видно, что для всех x 1 3 график функции лежит ниже прямой y= π 6 . Следовательно, эти x и составляют:

Ответ.  x 1 3 .





 

© Физикон, 1999-2015