Учебник. Неравенства с модулем




Неравенства с модулем

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Правда, в отдельных случаях может быть затруднена его техническая реализация, например, очень тяжело или невозможно найти корни подмодульных выражений и пр. Однако, это сложности иного плана. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях конкурсного экзамена важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.

Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

Рассмотрим неравенство | f ( x ) |g ( x ) . Очевидно, что те x, для которых g (x) < 0, не являются решениями. Значит, если x является решением, то для него g (x) ≥ 0, и согласно геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе -g ( x ) f ( x ) g ( x ) . Таким образом, имеем | f ( x ) |g ( x ) { f ( x ) g ( x ) , f ( x ) -g ( x ) , -g ( x ) f ( x ) g ( x ) .

Аналогично можно рассмотреть неравенство | f ( x ) |g ( x ) . Неравенство выполнено для тех x, для которых g (x) < 0 и функции f (x) и g (x) определены. Для тех x, для которых g (x) ≥ 0, имеем равносильную совокупность [ f ( x ) g ( x ) , f ( x ) -g ( x ) .

| f ( x ) |g ( x ) [ ( x ) <0, { [ ( x ) ( x ) , ( x ) -( x ) , ( x ) 0.

Заметим, что последняя совокупность является равносильной нашему неравенству и при g (x) ≤ 0. В этом можно непосредственно убедиться, учтя g (x) ≤ 0 и вспомнив определение знака совокупности.

Решите неравенство | x 2 -3x+2 |+| 2x+1 |5 .

Перейдём к равносильной совокупности. | x 2 -3x+2 |+| 2x+1 |5 | x 2 -3x+2 |5-| 2x+1 | { x 2 -3x+25-| 2x+1 |, x 2 -3x+2| 2x+1 |-5; { | 2x+1 |- x 2 +3x+3, | 2x+1 | x 2 -3x+7; { { 2x+1- x 2 +3x+3, 2x+1 x 2 -3x-3; { 2x+1 x 2 -3x+7, 2x+1- x 2 +3x-7; { { x 2 -x-20, x 2 -5x-40; { x 2 -5x+60, x 2 -x+80; { { -1x2, 5- 41 2 x 5+ 41 2 ; { x2 или x3, x - любое; { 5- 41 2 x2, x2 или x3; 5- 41 2 x2.

Ответ.  5- 41 2 x2 .

Как видно, в простых случаях особых преимуществ метод перехода к равносильной системе не имеет, но иногда его преимущества весьма заметны.

Решите неравенство | | x 3 -x-1 |-5 | x 3 +x+8 .

Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в нуль, чрезвычайно затруднительно. Однако переход к равносильной системе значительно упрощает дело. Имеем: | | x 3 -x-1 |-5 | x 3 +x+8 [ | x 3 -x-1 |-5 x 3 +x+8, | x 3 -x-1 |-5- x 3 -x-8; [ | x 3 -x-1 | x 3 +x+13, | x 3 -x-1 |- x 3 -x-3; [ [ x 3 -x-1 x 3 +x+13, x 3 -x-1- x 3 -x-13; { x 3 -x-1- x 3 -x-3, x 3 -x-1 x 3 +x+3; [ [ x-7, x- 6 3 ; { x-1 , x-2; [ x- 6 3 , x-2; x- 6 3 .

Ответ.  x- 6 3 .





 

© Физикон, 1999-2015