Учебник. Иррациональные неравенства




Иррациональные неравенства

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными.

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, как было показано выше в правиле 4 преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство, 1= ( -1 ) 2 < 3 2 =9 − тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство 16= ( -4 ) 2 < ( -1 ) 2 =1 уже верным не является.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.

Неравенства вида f ( x ) <g ( x )

Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств: f ( x ) <g ( x ) { f ( x ) 0, g ( x ) >0, f ( x ) < g 2  ( x ) .

Решите неравенство x 2 -6x <8+2x .

Сразу перейдём к равносильной системе: x 2 -6x <8+2x { x 2 -6x=x( x-6 ) 0, 8+2x=2( x+4 ) >0, x 2 -6x< ( 8+2x ) 2 ;  { x( -; 0 ][ 6; + ), x>-4, 3 x 2 +38x+64>0;  { x( -; 0 ][ 6; + ), x>-4, x( -; - 32 3 ) ( -2; + ) ;  x( -2; 0 ][ 6; + ) .

Ответ.  x( -2; 0 ][ 6;  + ) .

Решите неравенство 24-10x <3-4x .

Перейдём к равносильной системе: 24-10x <3-4x { 24-10x0, 3-4x>0, 24-10x< ( 3-4x ) 2 ;  { x 12 5 , x< 3 4 , 16 x 2 -14x-15>0;  { x 12 5 , x< 3 4 , x( -; - 5 8 ) ( 3 2 ; + ) ;  x( -; - 5 8 ) .

Ответ.  x( -; - 5 8 ) .

Неравенства вида f ( x ) >g ( x )

ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена (∈ ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.

Для других из ОДЗ g (x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: f ( x ) > g 2  ( x ) . Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

f ( x ) >g ( x ) [ { g ( x ) <0, f ( x ) 0;  { g ( x ) 0, f ( x ) > g 2  ( x ) .

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически f ( x ) > g 2  ( x ) 0 , ибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Решите неравенство x+3 >x+1 .

ОДЗ неравенства: x ≥ –3.

1. Если x+1<0 x<-1 , то все эти ∈ ОДЗ, для которых верно x < –1, − решения. Таким образом, x[ -3; -1 ) − первая часть ответа.

2. Если x+10 x-1 , то обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем: { x+3> ( x+1 ) 2 , x-1; { x+3> x 2 +2x+3, x-1; { x 2 +x-2<0, x-1; { ( x+1 ) ( x-2 ) <0, x-1.

Получаем, что решениями являются все x[ -1; 1 ) .

Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем:

Ответ.  x[ -3; 1 ) .

Решите неравенство 3 -3+8x+3 x 2 1+2x .

ОДЗ данного неравенства: 3 x 2 +8x-30 [ x-3, x 1 3 . Будем рассматривать только эти x, другие x не могут являться решениями данного неравенства.

1. Если 1+2x 3 <0 , то есть x<- 1 2 , то все такие из ОДЗ, удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x ≤ –3 − решения неравенства.

2. Если 1+2x 3 0 , то есть x- 1 2 , а с учетом ОДЗ это означает, что x 1 3 , то обе части неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат: 3 x 2 +8x-3 1 9 ( 1+4x+4 x 2 ) 23 x 2 +68x-280.

Уравнение 23 x 2 +68x-28=0 имеет корни x 1 =- 34+30 2 23 <0 и x 2 = 30 2 -34 23 > 1 3 . Значит, решением неравенства являются x( -; - 34+30 2 23 ][ 30 2 -34 23 ; + ) . С учётом x 1 3 получается, что на данном множестве решениями являются x[ 30 2 -34 23 ; + ) . Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем

x( -; -3 ][ 30 2 -34 23 ; + ) .

Запишем это решение другим способом:

3 x 2 +8x-3 1+2x 3 [ { 1+2x 3 <0, 3 x 2 +8x-3=3( x+3 ) ( x- 1 3 ) 0;  { 1+2x 3 0, 3 x 2 +8x-3 ( 1+2x 3 ) 2 . [ { x<- 1 2 , [ x-3, x 1 3 ;  { x- 1 2 , 23 x 2 +68x-280. [ x-3, { x- 1 2 , x- 34+30 2 23 , x 30 2 -34 23 . [ x-3, x 30 2 -34 23 .

Ответ.  x( -; -3 ][ 30 2 -34 23 ; + ) .

Неравенства вида f ( x ) g ( x )

ОДЗ данного неравенства: { f ( x ) 0, g ( x ) 0. Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему

f ( x ) g ( x ) { f ( x ) 0, f ( x ) g ( x ) .

Заметим, что из неравенства g ( x ) f ( x ) 0 следует, что g ( x ) 0 , то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: f ( x ) - g ( x ) 0 , а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде f ( x ) -g ( x ) 0 . Следовательно, в ОДЗ

f ( x ) - g ( x ) 0 f ( x ) -g ( x ) 0 .

Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение:

Знак разности f ( x ) - g ( x ) совпадает со знаком выражения f ( x ) -g ( x ) .

Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:

f ( x ) - g ( x ) h ( x ) 0 ( 0 ) f ( x ) -g ( x ) h ( x ) 0 ( 0 ) в ОДЗ: { f ( x ) 0, g ( x ) 0.

Решите неравенство x 2 -2x+1 3-x .

Перейдём к равносильной системе: x 2 -2x+1 3-x { 3-x0, x 2 -2x+13-x;  { x3, x 2 -x-20;  { x3, ( x+1 ) ( x-2 ) 0.

Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем:

Ответ.  x( -; -1 ][ 2; 3 ].

Решите неравенство 2 x( 2 x 2 -22x+60 ) 6-x 20-4x .

ОДЗ данного неравенства: x6, 2 x 3 -22 x 2 +60x=2x( x-6 ) ( x-5 ) 0

x[ 0; 5 ]( 6; + ) .

Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует 2x , и значит, 2x( x-5 ) ( x-6 ) x-6 2( x-5 ) 2x( x-5 ) ( x-6 ) -2( x-5 ) ( x-6 ) ( x-6 ) = 2x( x-5 ) ( x-6 ) - 4 ( x-5 ) 2 ( x-6 ) 2 ( x-6 ) = ( x-5 ) ( x-6 ) ( 2x - 4( x-5 ) ( x-6 ) ) ( x-6 ) 0.

Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку ( x-5 ) ( x-6 ) , который по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x = 5. При x = 6 корень ( x-5 ) ( x-6 ) обращается в нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем: ( x-5 ) ( x-6 ) ( 2x - 4( x-5 ) ( x-6 ) ) ( x-6 ) 0 [ x=5, 2x-4( x-5 ) ( x-6 ) x-6 0;  [ x=5, 2( x-4 ) ( x- 15 2 ) x-6 0;  [ x=5, x[ 4; 6 )( 15 2 ; + ];  x[ 4; 6 )( 15 2 ; + ]. Учтём теперь ОДЗ и получим:

Ответ.  x[ 4; 5 ][ 15 2 ; + )

Неравенства вида f ( x ) -g ( x ) h ( x ) 0 ( 0 )

ОДЗ данного неравенства: { f ( x ) 0, h ( x ) 0. Предположим, что функции f (x) и g (x) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство f ( x ) -g ( x ) 0 ( 0 ) .

1. Если g (x) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено f ( x ) -g ( x ) >0 .

2. Если g (x) ≥ 0, то выражение f ( x ) -g ( x ) может иметь любой знак, но выражение f ( x ) +g ( x ) всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число f ( x ) +g ( x ) , не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству f ( x ) - g 2  ( x ) 0 ( 0 ) . Таким образом, в ОДЗ f ( x ) -g ( x ) 0 ( 0 ) f ( x ) - g 2  ( x ) 0 ( 0 ) .

Значит, при g (x) ≥ 0, знак разности f ( x ) -g ( x ) совпадает со знаком разности f ( x ) - g 2  ( x ) в ОДЗ.

Получаем следующие условия равносильности. f ( x ) -g ( x ) h ( x ) 0 ( 0 ) [ { g ( x ) <0, h ( x ) >0 ( <0 ) ;  { g ( x ) 0, f ( x ) - g 2  ( x ) h ( x ) 0 ( 0 ) .

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.

Решите неравенство 13-3x+ x 2 -x-6 5-x >1 .

Выполним равносильные в ОДЗ преобразования и приведём неравенство к удобному для применения результатов настоящего пункта виду. x 2 -x-6 +13-3x 5-x -1= x 2 -x-6 +13-3x-5+x 5-x = x 2 -x-6 -2x+8 5-x = = x 2 -x-6 -( 2x-8 ) 5-x >0.

Мы не случайно сделали последнее преобразование. Важно понимать, чему здесь конкретно равняется функция g (x) = 2x – 8. Типичной ошибкой является считать, что g (x) = 2x + 8.

ОДЗ данного неравенства: x5,  x 2 -x-60 , то есть x( -; -2 ][ 3; 5 )( 5; + ) . Теперь перейдём к равносильной системе. В ОДЗ x 2 -x-6 -( 2x-8 ) 5-x >0 [ { 2x-8<0, 5-x>0;  { 2x-80, x 2 -x-6- ( 2x-8 ) 2 5-x >0;  [ { x<4, x<5;  { x4, 3( x- 10 3 ) ( x-7 ) x-5 >0;  [ x<4 { x4, x( 10 3 ; 5 ) ( 7; + ) ;  x[ 4; 5 )( 7; + ) . С учётом ОДЗ сразу получаем:

Ответ.  x( -; -2 ][ 3; 5 )( 7; + ) .





 

Сенсорные комнаты оборудование
Проектирование и производство комнат психологической разгрузки
obektivcentr.ru
© Физикон, 1999-2015