Учебник. Алгебраические уравнения




Алгебраические уравнения

Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение a n z n + a n-1 z n-1 +...+ a 1 z+ a 0 =0. имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

Эту теорему также называют основной теоремой алгебры. Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z = z0. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен (z = z0), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n-ной степени имеет ровно n, вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).

Решите уравнение z3 + z – 2 = 0.

Очевидно, z = 1 – корень этого уравнения. Разделив многочлен z3 + z – 2 на одночлен (z – 1), например, по схеме Горнера, получим разложение исходного многочлена на множители: ( z-1 ) ( z 2 +z+2 ) =0. Корни квадратичной функции находим по формуле корней квадратного уравнения: z 1,  2 = -1+ 1-8 2 = -1+ -7 2 = -1± 7 i 2 .

Ответ. 1, -1± 7 i 2 .

 

Рациональные уравнения являются следующим по сложности типом стандартных уравнений.

Функция f (x) называется рациональной (дробно-рациональной), если она представима в виде отношения двух многочленов:  ( x ) = P n  ( x ) Q m  ( x )  (степени n и m многочленов могут быть произвольными).

Уравнение f (x) = g (x) называется дробно-рациональным, если f (x) и g (x) являются дробно-рациональными функциями.

Для решения дробно-рациональных уравнений существует алгоритм.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.

3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

5. Записать ответ.

Решите уравнение 3x x-1 - 2x x+2 = 3x+2 ( x-1 ) ( x+2 ) .

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, есть (x – 1)(x + 2). Умножая на него обе части уравнения, получим 3x(x + 2) – 2x(x – 1) = 3x + 2. Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению x2 + 5x + 6 = 0, корни которого x = –3 и x = –2. Подставляя эти числа в общий знаменатель дробей исходного уравнения, убеждаемся, что при x = –2 он обращается в нуль, при x = –3 знаменатель нулю не равен. Значит, x = –2 не является корнем уравнения.

Ответ. x = –3.

Уравнения, в которых переменная входит под знаком радикала, называются иррациональными уравнениями.

Стандартным методом их решения является возведение уравнения в подходящую степень. Однако, как следует из § 3.1.1, возведение уравнения в произвольную степень не всегда приводит к равносильному уравнению.

Действительно, уравнение [ ( x ) ] 2n = [ ( x ) ] 2n n,

является лишь следствием уравнения f (x) = g (x), то есть содержит все корни этого уравнения, но может иметь и другие корни. Уравнение (6) среди своих корней содержит ещё и корни уравнения f (x) = –g (x) (если таковые существуют), следствием которого оно также является. Итак, у уравнения (6) «больше» корней, чем у уравнения f (x) = g (x), а это как раз и обозначает, что при возведении в чётную степень могут появиться посторонние корни. В этом случае проверка необходима, как составляющий элемент решения. Она необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. В последнем случае иногда проще сделать проверку, чем доказать, что она не нужна. Именно поэтому проверка здесь является элементом решения.

К тому же, проверка может быть средством контроля правильности проделанных вычислений. Однако проверить полученные корни подстановкой не всегда легко. Лишние корни, которые могли появиться при возведении уравнения, например, в квадрат, могут быть отсеяны на основе следующего соображения.

Рассмотрим уравнение ( x ) =( x ) .

Ясно, что если x = x0 − решение этого уравнения, то обе части этого равенства при x = x0 должны быть неотрицательны. Следовательно, потребовав дополнительно, чтобы g(x) ≥ 0, уравнение можно возвести в квадрат. Имеем следующее соотношение равносильности: ( x ) =( x ) { ( x ) 0, ( x ) = g 2  ( x ) .

Система (8) действительно является равносильной уравнению (7). В самом деле, из системы (8) следует, что функция f (x) равна полному квадрату функции g (x), то есть для решения является неотрицательной.

Решите уравнение x+2 =2x-1 .

Перейдём сразу к равносильной системе. x+2 =2x-1 { 2x-10, x+2= ( 2x-1 ) 2 ; { x 1 2 , 4 x 2 -5x-1=0; { x 1 2 , x= 5± 41 8 ; x= 5+ 41 8 .

Ответ.  x= 5+ 41 8 .





 

© Физикон, 1999-2015