Учебник. Квадратные уравнения




Квадратные уравнения

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x − переменная, a, b и c − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше второй.

Если a = 0, то уравнение примет вид bx + c = 0 и будет уравнением степени не выше первой, которое рассмотрено выше.

Если a ≠ 0, то уравнение рассматриваемого вида называется квадратным уравнением (или уравнением второй степени).

Обозначим f (x) = ax2 + bx + c и зададимся целью решить уравнение f (x) = ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

Разложение квадратного трехчлена на множители было произведено в § 2.1.4: D = b2 – 4ac, f ( x ) =0 ( x+ b 2a ) 2 = D 4 a 2 .

Следующим существенным шагом является извлечение арифметического квадратного корня из обеих частей полученного уравнения, но поскольку дискриминант может иметь разные знаки, то возникает три случая:

  • Если D < 0, то действительных корней нет.
  • Если D = 0, то корни совпадают и равны x 0 =- b 2a .
  • Если D > 0, то, извлекая корень, получим x+ b 2a =± D 2a x 1, 2 = -b± D 2a .

Это и есть формула для решения квадратного уравнения.

 

Решите уравнение x2 + 2x – 3 = 0.

Вычислим дискриминант этого уравнения: D= 2 2 -4( -3 ) =16 . Следовательно, по формуле корней квадратного уравнения можно сразу получить, что x 1, 2 = -2± 16 2 =-1±2 . Значит, x 1 =1,  x 2 =-3 .

Ответ. 1, −3.

Решите уравнение x2 + 6x + 9 = 0.

Вычисляя дискриминант этого уравнения, получим, что D = 0 и, следовательно, это уравнение имеет один корень x=- 6 2ċ1 =-3 . Однако можно поступить проще, заметив, что в левой части данного уравнения стоит полный квадрат: ( x+3 ) 2 =0 . Отсюда равенство x = –3 получается сразу.

Ответ. x = –3.

Решите уравнение x2 + 2x + 17 = 0.

Вычислим дискриминант этого уравнения: D = 22 – 4 ċ 17 = –64 < 0. Следовательно, данное уравнение действительных корней не имеет.

Ответ. Решений нет.





 

Сайт JoyCasino
Сайт сериала
joscasino.net
© Физикон, 1999-2015