Учебник. Замена переменных в уравнении




Замена переменных в уравнении

Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.

Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.

  • Замена y = xn (степенная замена)

    В частности, с помощью замены y = x2 так называемое биквадратное уравнение ax4 + bx2 + c = 0, a ≠ 0 приводится к квадратному.

  • Замена y= P n  ( x ) или y= P n  ( x ) (замена многочлена)

    Чаще всего встречается замена y=a x 2 +bx+c или y= a x 2 +bx+c .

  • Замена y= P n  ( x ) Q m  ( x ) (дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда, P n  ( x ) и Q m  ( x ) − многочлены степеней n и m соответственно.

    В частности, с помощью широко распространённой замены y=x+ 1 x решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, a ≠ 0.

    Покажем, как это делается. Так как a ≠ 0, то число x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на x2 ≠ 0, получим a x 2 +bx+c+ b x + a x 2 =0, a( x 2 + 1 x 2 ) +b( x+ 1 x ) +c=0. А так как x 2 + 1 x 2 = ( x+ 1 x ) 2 -2 , то после замены y=x+ 1 x уравнение сводится к квадратному a y 2 +by+c-2a=0 .

Дадим два практических совета.

Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

 

Решите уравнение (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12.

Сделаем замену переменных t= x 2 +x+1 . В терминах новой неизвестной уравнение имеет вид t( t+1 ) =12 t 2 +t-12=0 . Корни этого квадратного уравнения t = –4 и t = 3. Имеем два случая.

1) t= x 2 +x+1=-4 x 2 +x+5=0.  D=1-20=-19 < 0 . Значит, это уравнение корней не имеет.

2) t= x 2 +x+1=3 x 2 +x-2=0 . Корни этого уравнения x = 1 и x = –2.

Ответ. x = 1 и x = –2.

Решите уравнение 4x 4 x 2 -8x+7 + 3x 4 x 2 -10x+7 =1 .

Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на x. Имеем

4x 4 x 2 -8x+7 + 3x 4 x 2 -10x+7 =1 4 4x-8+ 7 x + 3 4x-10+ 7 x =1 . Теперь очевидна замена переменной: y=4x+ 7 x . В терминах новой переменной имеем уравнение 4 y-8 + 3 y-10 =1 4y-40+3y-24 ( y-8 ) ( y-10 ) =1 7y-64 ( y-8 ) ( y-10 ) =1 7y-64= y 2 -18y+80 y 2 -25y+144=0 . Корни этого уравнения y = 9 и y = 16. Имеем два случая:

1) y=4x+ 7 x =9 4 x 2 -9x+7=0, D=81-112 < 0 . Следовательно, это уравнение корней не имеет.

2) y=4x+ 7 x =16 4 x 2 -16x+7=0 . Корни этого уравнения x= 1 2 и x= 7 2 .

Ответ.  x= 1 2 и x= 7 2 .





 

© Физикон, 1999-2015