Учебник. Разложение выражений на множители




Разложение выражений на множители

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде F1 (x) ċ F2 (x) ċ ... ċ Fn (x) = 0,

где выражения Fk (x), k = 1, ..., n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители Fk (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Разложить на множители многочлен x5 – 2x3 + x2.

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x2. Вынесем его за скобку и получим ответ: x5 – 2x3 + x2 = x2(x3 – 2x + 1).

2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы: a 2 - b 2 =( a-b ) ( a+b ) , a 3 + b 3 =( a+b ) ( a 2 -ab+ b 2 ) , a 3 - b 3 =( a-b ) ( a 2 +ab+ b 2 ) , a 4 - b 4 =( a 2 - b 2 ) ( a 2 + b 2 ) =( a-b ) ( a+b ) ( a 2 + b 2 ) , a 5 - b 5 =( a-b ) ( a 4 + a 3 b+ a 2 b 2 +a b 3 + b 4 ) , a n - b n =( a-b ) ( a n-1 + a n-2 b+ a n-3 b 2 + a n-4 b 3 +...+ a 2 b n-3 +a b n-2 + b n-1 ) , n.

Разложить на множители многочлен (x – 2)4 – (3x + 1)4.

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше: ( x-2 ) 4 - ( 3x+1 ) 4 =( ( x-2 ) 2 - ( 3x+1 ) 2 ) ( ( x-2 ) 2 + ( 3x+1 ) 2 ) = =( x-2-3x-1 ) ( x-2+3x+1 ) ( x 2 -4x+4+9 x 2 +6x+1 ) = =-( 2x+3 ) ( 4x-1 ) ( 10 x 2 +2x+5 ) .

3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Разложить на множители многочлен x4 + 4x2 – 1.

Имеем x 4 +4 x 2 -1= x 4 +2ċ2ċ x 2 +4-4-1= ( x 2 +2 ) 2 -5=( x 2 +2- 5 ) ( x 2 +2+ 5 ) .

4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

  • Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
  • Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
  • Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x → +∞ и x → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox.

Разложить на множители многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1.

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap)x2 + (c – bp)x – pc.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов: { a=3 b-ap=-1 c-bp=-3 -pc=1 Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1.

Итак, многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1 разлагается на множители: 3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – 1)(3x2 + 2x – 1).

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен Pn (x) представим в виде Pn (x) = (x – α) ċ Pn – 1 (x), где Pn – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем Pn (x).

Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) ċ Q (x), где Q (x) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2).

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Разложить на множители многочлен x4 – 10x2 – x + 20.

Преобразуем данный многочлен: x4 – 10x2 – x + 20 = x4 – 5 ċ 2x2 – x + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2x2) + x4 – x

Рассмотрим теперь многочлен a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x, который при a = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета: a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = a2 – a(1 + 2x2) + x(x3 – 1) = a2 – a(1 + 2x2) + x(x – 1)(x2 + x + 1). Следовательно, a1 = x(x – 1), a2 = x2 + x + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = (a – (x2 – x))(a – (x2 + x + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a = 5. Получим: x4 – 10x2 + x + 20 = (5 – x2 + x)(5 – x2 – x – 1) = (x2 – x – 5)(x2 + x – 4).





 

Жидкости для электронных сигарет Киев
Жидкости для электронных сигарет Киев
parimparom.com.ua
© Физикон, 1999-2015