Открытая Математика. Алгебра. Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем $2 sin \frac{a - b}{2} cos \frac{a + b}{2} = 0 .$ Значит, либо $sin \frac{a - b}{2} = 0,$ то есть $\frac{a - b}{2} = π n,$ $n \in ℤ,$ либо $cos \frac{a + b}{2} = 0,$ то есть $\frac{a + b}{2} = \frac{π}{2} + π n,$ $n \in ℤ .$ Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π, $n \in ℤ .$

Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn, $n \in ℤ,$ либо x + arcsin a = 2(n + 1)π, $n \in ℤ .$ Оба эти равенства могут быть объединены в одно: $x = {(- 1)}^{n} arcsin a + π n, n \in ℤ .$ Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.

Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид $x = ± arccos a + 2 π n, n \in ℤ .$

Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид x = arctg a + πn, $n \in ℤ .$

Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид x = arcctg a + πn, $n \in ℤ .$

Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Простейшие тригонометрические уравнения

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.

Воспользуемся формулой приведения $sin 2 x = cos (\frac{π}{2} - 2 x),$ получаем $cos (\frac{π}{2} - 2 x) - cos 3 x = 0 .$ По формуле разности синусов имеем $2 sin \frac{\frac{π}{2} - 2 x + 3 x}{2} sin \frac{3 x - \frac{π}{2} + 2 x}{2} = 0 .$ Следовательно, либо $\frac{π}{4} + \frac{x}{2} = π k,$ то есть $x = - \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ,$ либо $\frac{5 x}{2} - \frac{π}{4} = π k,$ то есть $x = \frac{π}{10} + \frac{2 π k}{5}, k \in ℤ .$

Ответ. $x = - \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ, x = \frac{π}{10} + \frac{2 π k}{5}, k \in ℤ .$

Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.

Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем tg x = 2, x = arctg 2 + πn, $n \in ℤ .$

Ответ. x = arctg 2 + πn, $n \in ℤ .$

Решите уравнение sin² x – 6 sin x cos x + 5 cos² x = 0.

Те значения переменной x, для которых cos x = 0, не являются решениями, в чём можно убедиться непосредственной подстановкой. Разделим обе части уравнения на cos² x, получим tg²x – 6 tg x + 5 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно переменной t = tg x: t² – 6t + 5 = 0. Корни этого уравнения: $t_{1} = 1$ и $t_{2} = 5 .$ Уравнение $tg x = 1$ имеет решения $x = \frac{π}{4} + π n, n \in ℤ .$ Уравнение tg x = 5 имеет решения $x = arctg 5 + π n, n \in ℤ .$

Ответ. $x = \frac{π}{4} + π n, x = arctg 5 + π n, n \in ℤ .$

Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка. Вспомним определение многочлена n-ной степени, данное в § 2.1.1. Однородным многочленом n-ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.

Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au² + bvu + cv² = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x.

Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной $t = \frac{u}{v} .$ Уравнения 2-го порядка делением на $v^{2}$ сводятся к квадратному относительно $t = \frac{u}{v} .$

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.

Решите уравнение arccos x = arctg x.

Применим функцию косинус к обеим частям данного уравнения. Имеем $x = cos (arctg x) .$ Так как область определения данного уравнения − множество $x \in [- 1; 1],$ то: $x \in [- 1; 1] \Rightarrow {\begin{array}{l} arccos x \in [0; π] \\ arctg x \in [- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}] \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} arccos x \in [0; \frac{π}{4}] \\ arctg x \in [0; \frac{π}{4}] \end{array} \Rightarrow x > 0 \Rightarrow$ $x = cos (arctg x) = \frac{1}{\sqrt{1 + {tg}^{2} (arctg x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .$ Значит, x > 0. Решаем полученное иррациональное уравнение: $x^{2} = \frac{1}{1 + x^{2}} \Leftrightarrow x^{4} + x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2} .$ Так как x > 0, то $x = \sqrt{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}} .$

Ответ. $\sqrt{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}} .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Тригонометрические уравнения

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ