Учебник. Тригонометрические уравнения




Тригонометрические уравнения

Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем 2sin a-b 2 cos a+b 2 =0 . Значит, либо sin a-b 2 =0 , то есть a-b 2 =πn ,   n , либо cos a+b 2 =0 , то есть a+b 2 = π 2 +πn ,   n . Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π,  n .

Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn,  n , либо x + arcsin a = 2(n + 1)π,  n . Оба эти равенства могут быть объединены в одно: x= ( -1 ) n arcsina+πn, n . Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.

Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид x=±arccos a+2πn, n .

Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид x = arctg a + πn,  n .

Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид x = arcctg a + πn,  n .

Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Простейшие тригонометрические уравнения

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.

Воспользуемся формулой приведения sin2x=cos( π 2 -2x ) , получаем cos( π 2 -2x ) -cos3x=0 . По формуле разности синусов имеем 2sin π 2 -2x+3x 2 sin 3x- π 2 +2x 2 =0 . Следовательно, либо π 4 + x 2 =πk , то есть x=- π 2 +2πk, k , либо 5x 2 - π 4 =πk , то есть x= π 10 + 2πk 5 , k .

Ответ.  x=- π 2 +2πk, k, x= π 10 + 2πk 5 , k .

Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.

Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем tg x = 2, x = arctg 2 + πn, n .

Ответ.  x = arctg 2 + πn, n .

Решите уравнение sin2 x – 6 sin x cos x + 5 cos2 x = 0.

Те значения переменной x, для которых cos x = 0, не являются решениями, в чём можно убедиться непосредственной подстановкой. Разделим обе части уравнения на cos2 x, получим tg2x – 6 tg x + 5 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно переменной t = tg x: t2 – 6t + 5 = 0. Корни этого уравнения: t 1 =1 и t 2 =5 . Уравнение tgx=1 имеет решения x= π 4 +πn, n . Уравнение tg x = 5 имеет решения x=arctg 5+πn, n .

Ответ.  x= π 4 +πn, x=arctg 5+πn, n .

Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка. Вспомним определение многочлена n-ной степени, данное в § 2.1.1. Однородным многочленом n-ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.

Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au2 + bvu + cv2 = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x.

Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной t= u v . Уравнения 2-го порядка делением на v 2 сводятся к квадратному относительно t= u v .

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.

Решите уравнение arccos x = arctg x.

Применим функцию косинус к обеим частям данного уравнения. Имеем x=cos( arctg x ) . Так как область определения данного уравнения − множество x[ -1; 1 ] , то: x[ -1; 1 ] { arccosx[ 0; π ] arctgx[ - π 4 ;  π 4 ] { arccosx[ 0;  π 4 ] arctgx[ 0;  π 4 ] x>0 x=cos(arctg x)= 1 1+ tg 2  ( arctg x ) = 1 1+ x 2 . Значит, x > 0. Решаем полученное иррациональное уравнение: x 2 = 1 1+ x 2 x 4 + x 2 -1=0 x 2 = -1± 5 2 . Так как x > 0, то x= 5 -1 2 .

Ответ. 5 -1 2 .





 

© Физикон, 1999-2015