Открытая Математика. Алгебра. Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Вернемся к определению функции, данному в § 2.2.1. Отметим, что в этом определении функция f не обязана разным элементам $x_{1}$ и $x_{2}$ множества X ставить в соответствие разные элементы множества Y.

Если Y – множество значений функции f (x) и для любого элемента $y \in Y$ существует единственный элемент $x \in X$ такой, что f (x) = y, то говорят, что функция осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множествами X и Y. Другими словами, соответствие называется взаимнооднозначным, если каждому элементу $x \in X$ соответствует единственный элемент $y \in Y$ и наоборот, каждому элементу $y \in Y$ соответствует единственный элемент $x \in X .$ Функция, осуществляющая взаимнооднозначное соответствие, называется обратимой; ещё говорят, что у функции f существует обратная функция. Такая функция обозначается $f^{- 1}$ и каждому элементу $y \in Y$ ставит в соответствие такой элемент $x \in X,$ что f (x) = y; этот факт записывают так: $x = f^{- 1} (y) .$ Однако нам непривычна запись функции как зависимости x от y. Поэтому сделаем формальную замену переменных $x \leftrightarrow y,$ что соответствует отражению относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Тогда получим, что $y = f^{- 1} (x)$ − обратная функция, график которой получается из графика исходной функции y = f (x) отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Область определения обратной функции совпадает с областью значений самой функции: $D (f^{- 1}) = E (f) = Y .$ Область значений обратной функции совпадает с множеством определения самой функции: $E (f^{- 1}) = D (f) = X .$

Рассмотрим функцию f (x) = sin x для $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$ Тогда $D (f) = [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}], E (f) = [- 1; 1] .$ При этом область определения выбрана так, что соответствие является взаимнооднозначным. Следовательно, существует обратная функция с областью определения $D (f^{- 1}) = [- 1; 1]$ и областью значений $E (f^{- 1}) = [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$ Эта обратная функция называется арксинусом. Её обозначение: y = arcsin x. График функции y = arcsin x изображён на рисунке.

Арксинус Функция y = arcsin x

Аналогично, на промежутке D (f^–1) = E (f) = [–1; 1] можно определить функцию, обратную cos x, c областью значений E (f^–1) = D (f) = [0; π] Эта обратная функция называется арккосинусом. Её обозначение: y = arccos x. График функции y = arccos x изображён на рисунке.

Арккосинус Функция y = arccos x

Рассмотрим функцию f (x) = tg x для $x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) .$ Тогда $D (f) = (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}), E (f) = R .$ При этом область определения выбрана так, что соответствие является взаимнооднозначным. Следовательно, существует обратная функция с областью определения $D (f^{- 1}) = R$ и областью значений $E (f^{- 1}) = (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) .$ Эта обратная функция называется арктангенсом. Её обозначение y = arctg x. График функции y = arctg x изображён на рисунке.

Арктангенс Функция y = arctg x

Для построения арккотангенса выберем промежуток x ∈ (0; π). Тогда $D (f) = (0; π), E (f) = R .$ Построим обратную функцию с областью определения $D (f^{- 1}) = E (f) = R$ и областью значений $E (f^{- 1}) = D (f) = (0; π) .$ Эта обратная функция называется арккотангенсом. Её обозначение y = arcctg x. График функции y = arcctg x изображён на рисунке.

Арккотангенс Функция y = arcctg x

Итак, запись b = arcsin a обозначает, что $b \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ и sin b = a. Аналогичные соотношения справедливы и для остальных обратных тригонометрических функций.

Докажите тождество $arcsin x + arccos x = \frac{π}{2} .$

Пусть $y = arcsin x \Leftrightarrow {\begin{array}{l} - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, \\ sin y = x; \end{array}$ пусть также $z = arccos x \Leftrightarrow {\begin{array}{l} 0 \leq z \leq π, \\ cos z = x . \end{array}$ Следовательно, требуется доказать неравенство $y + z = \frac{π}{2} .$ Перенесём z в правую часть и возьмём синус от обеих частей получившегося равенства: $y = \frac{π}{2} - z \Rightarrow sin y = sin (\frac{π}{2} - z) = cos z .$

Но sin y = x и cos z = x, значит, наше равенство принимает вид x = x. Однако для того, чтобы доказать нужное нам тождество, мы должны обосновать возможность перехода от верного равенства x = x к исходному. В самом деле, переход от равенства sin y = cos z к равенству $y = \frac{π}{2} - z,$ вообще говоря, не является равносильным преобразованием. Но у нас есть ограничения на y и z в виде неравенств $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, 0 \leq z \leq π,$ а для таких y и z равенство sin y = cos z возможно только при $y = \frac{π}{2} - z .$ Следовательно, $y + z = \frac{π}{2}$ и наконец $arcsin x + arccos x = \frac{π}{2},$ что и требовалось доказать.

Найти соотношение между A (x) = arcsin (cos (arcsin x)) и B (x) = arccos (sin (arccos x)).

Обозначим через y переменную, для которой выполняется равенство: $y = arcsin x \Leftrightarrow {\begin{array}{l} - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, \\ sin y = x, \end{array}$ тогда cos y = cos (arcsin x). Значит, $cos y = + \sqrt{1 - {sin}^{2} (arcsin x)} = + \sqrt{1 - x^{2}} .$ Здесь поставлен знак «+», поскольку y − угол первой или четвёртой четверти, в которых косинус положителен. Равенство sin (arcsin x) = x справедливо по определению функции арксинус. Значит, $cos (arcsin x) = \sqrt{1 - x^{2}} .$

Вычислим sin (arccos x) = sin z, где $z = arccos x \Leftrightarrow {\begin{array}{l} 0 \leq z \leq π, \\ cos z = x . \end{array}$ Значит, $sin z = + \sqrt{1 - {cos}^{2} (arccos x)} = + \sqrt{1 - x^{2}} .$ Здесь поставлен знак плюс, поскольку z − угол первой или второй четверти, в которых синус положителен. Равенство cos (arccos x) = x справедливо по определению функции арккосинус. Отсюда $sin (arccos x) = \sqrt{1 - x^{2}} .$

Итак, $A (x) = arcsin \sqrt{1 - x^{2}}$ и $B (x) = arccos \sqrt{1 - x^{2}} .$ В предыдущем примере мы установили, что сумма арксинуса и арккосинуса одного и того же аргумента равна $\frac{π}{2} .$ Окончательно, $A (x) + B (x) = \frac{π}{2} .$

Ответ. $A (x) + B (x) = \frac{π}{2} .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Обратные тригонометрические функции

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ