Учебник. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента




Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента
Формулы приведения

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида πn 2 ±α можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения.

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку A, отвечающую этому углу, относительно прямой y = x. Пусть она при отражении перейдёт в точку B. Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y = x, то угол между осью ординат и радиус-вектором OB равен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором OB равен π 2 -α . Пусть координаты радиус-вектора OA будут (x; y), а координаты радиус-вектора OB будут (x'; y'). Так как при отражении относительно прямой y = x ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора OA станет ординатой радиус-вектора OB и наоборот. Следовательно, x = y', y = x'. Но координаты x и y можно найти с помощью угла α: x = cos α, y = sin α. Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора OB : x'=cos ( π 2 -α ) , y'=sin ( π 2 -α ) .

Так как x = y' и y = x', то получаем: cos ( π 2 -α ) =sin α , sin ( π 2 -α ) =cos α .

Рассмотрим радиус-вектор O A 1 , угол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны (x; –y). Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно, cos ( -α ) =cos α , sin ( -α ) =-sin α .

Отсюда легко получить, что tg ( -α ) = sin ( -α ) cos ( -α ) = -sin α cos α =-tg α , ctg ( -α ) = cos ( -α ) sin ( -α ) = -cos α sin α =-ctg α .

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Заменим в формулах cos ( π 2 -α ) =sin α и sin ( π 2 -α ) =cos α угол α на –α. Имеем cos ( π 2 -( -α ) ) =sin ( -α ) =-sin α, sin ( π 2 -( -α ) ) =cos ( -α ) =cos α .

Итак, доказано, что cos ( π 2 +α ) =-sin α , sin ( π 2 +α ) =cos α .

Выполним следующие преобразования: sin ( π+α ) =sin ( π 2 +( π 2 +α ) ) =cos ( π 2 +α ) =-sin α , sin ( π-α ) =sin ( π 2 +( π 2 -α ) ) =cos ( π 2 -α ) =sin α .

Итак, sin ( π+α ) =-sin α , sin ( π-α ) =sin α .

Аналогично доказываются формулы: cos ( π+α ) =-cos α , cos ( π-α ) =-cos α .

Из последних формул следует, что sin ( 3π 2 +α ) =-cos α , sin ( 3π 2 -α ) =-cos α , cos ( 3π 2 +α ) =sin α , cos ( 3π 2 -α ) =-sin α , sin ( 2π-α ) =-sin α , cos ( 2π-α ) =cos α .

Учтём теперь, что tg α= sin α cos α ,     ctg α= cos α sin α .

Тогда из вышеприведённых формул следует: tg ( π 2 -α ) =ctg α ,     ctg ( π 2 -α ) =tg α , tg ( π 2 +α ) =-ctg α ,    ctg ( π 2 +α ) =-tg α , tg ( π-α ) =-tg α ,    ctg ( π-α ) =-ctg α .

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

α π+α π-α 2π+α 2π-α π2+α π2-α 3π2+α 3π2-α
sin α -sin α sin α sin α -sin α cos α cos α -cos α -cos α
cos α -cos α -cos α cos α cos α -sin α sin α sin α -sin α
tg α tg α -tg α tg α -tg α -ctg α ctg α -ctg α ctg α
ctg α ctg α -ctg α ctg α -ctg α -tg α tg α -tg α tg α

Упростите выражение:

2cos ( π 2 -x ) sin ( π 2 +x ) tg ( π-x ) ctg ( π 2 +x ) sin ( π-x ) .

Имеем:

2cos( π 2 -x ) sin( π 2 +x ) tg ( π-x ) ctg ( π 2 +x ) sin ( π-x ) = 2sinxcosx( -tg x ) -tg x sinx =2cosx .

Ответ: 2 cos x.

Основные формулы

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем: O C 2 +C A 2 =O A 2 .

Но OA = 1, OC = cos α, CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство


sin 2  α+ cos 2  α=1 .

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Отсюда следует, что cos α=± 1- sin 2  α ,    sin α=± 1- cos 2  α .

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на cos 2  α0 . Получим: 1+t g 2  α= 1 cos 2  α , απn n .

Разделим основное тригонометрическое тождество на sin 2  α0 . Получим: 1+ct g 2  α= 1 sin 2  α , α π 2 +πn n .

Из определений тангенса и котангенса tg α= sin α cos α , ctg α= cos α sin α следует: tg αċctg α=1, α πn 2 , n .

Найдите sin x и cos x, если tg x= 5 12 и π<x< 3π 2 .

Так как π<x< 3π 2 , то sin x < 0 и cos x < 0. Имеем: 1 cos 2  x =1+t g 2  x=1+ ( 5 12 ) 2 = 12 2 + 5 2 12 2 = 13 2 12 2 = ( 13 12 ) 2 cos 2  x= ( 12 13 ) 2 cos x=- 12 13 . sin x=cos xċtg x=- 12 13 ċ 5 12 =- 5 13 .

Ответ.  sin x=- 5 13 , cos x=- 12 13 .

Упростить выражение: sin ( π+x )  cos ( π-x ) -tg ( π 2 -x ) 1- ( sin ( π 2 +x ) +sin ( π-x ) ) 2 .

sin ( π+x )  cos ( π-x ) -tg ( π 2 -x ) 1- ( sin ( π 2 +x ) +sin ( π-x ) ) 2 = -sin x ( -cos x ) -ctg x 1- ( cos x+sin x ) 2 =

= sin x cos x-ctg x 1- cos 2  x- sin 2  x-2 sin x cos x = sin x cos x-ctg x -2 sin x cos x =- 1 2 + sin x cos x 2 sin x cos x =

= 1 2 ( 1 cos 2  x -1 ) = 1 2 t g 2  x.

Ответ:  1 2 t g 2  x .

Формулы сложения

Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора OA и OB , отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: OA ( cos α;  sin α ) ,  OB ( cos β;  -sin β ) . Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

1. По определению. OA ċ OB =| OA |ċ| OB |ċcos ( α+β ) =1ċ1ċcos ( α+β ) =cos ( α+β ) , поскольку угол между единичными векторами OA и OB равен α + β.

2. Через координаты. Имеем: OA ċ OB =cos α cos β-sin α sin β .

Итак, получена следующая формула сложения: cos ( α+β ) =cos α cos β-sin α sin β .

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу. cos ( α-β ) =cos α cos ( -β ) -sin α sin ( -β ) =cos α cos β+sin α sin β , cos ( α-β ) =cos α cos β+sin α sin β .

Имеем: sin ( α+β ) =cos ( π 2 -( α+β ) ) =cos ( π 2 -α-β ) =cos ( ( π 2 -α ) -β ) = =cos ( π 2 -α ) cos β+sin ( π 2 -α ) sin β=sin α cos β+cos α sin β . Значит, sin ( α+β ) =sin α cos β+cos α sin β.

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу. sin ( α-β ) =sin α cos ( -β ) -cos α sin ( -β ) =sin α cos β-cos α sin β , sin ( α-β ) =sin α cos β-cos α sin β .

Из этих формул непосредственно следует, что tg ( α+β ) = sin ( α+β ) cos ( α+β ) = sin α cos β+cos α sin β cos α cos β-sin α sin β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = tg α+tg β 1-tg α tg β , tg ( α+β ) = tg α+tg β 1-tg α tg β . Последняя формула справедлива при α π 2 +πn, n β π 2 +πn, nα+β π 2 +πn, n .

ctg ( α+β ) = cos ( α+β ) sin ( α+β ) = cos α cos β-sin α sin β sin α cos β+cos α sin β = cos α cos β sin α sin β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = ctg α ctg β-1 ctg α+ctg β , ctg ( α+β ) = ctg α ctg β-1 ctg α+ctg β .

Эта формула справедлива при απn, n, βπn, n, α+βπn, n .

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы: tg ( α-β ) = tg α+tg ( -β ) 1-tg α tg ( -β ) = tg α-tg β 1+tg α tg β , tg ( α-β ) = tg α-tg β 1+tg α tg β . Последняя формула справедлива при α π 2 +πn, n, β π 2 +πnnα-β π 2 +πnn .

ctg ( α-β ) = ctg α ctg ( -β ) -1 ctg α+ctg ( -β ) =- ctg α ctg β+1 ctg α-ctg β , ctg ( α-β ) =- ctg α ctg β+1 ctg α-ctg β .

Эта формула справедлива при απnn, βπn, n, α-βπn, n .

Упростите выражения:

1) 2 sin x cos y-sin ( x+y ) cos ( x+y ) +2 sin x sin y ;

2) 2 sin ( x+y ) cos ( x+y ) +cos ( x-y ) -tg x .

Имеем:

1) 2 sin x cos y-sin ( x+y ) cos ( x+y ) +2 sin x sin y = 2 sin x cos y-sin x cos y-cos x sin y cos x cos y-sin x sin y+2 sin x sin y =

= sin x cos y-cos x sin y cos x cos y+sin x sin y = sin ( x-y ) cos ( x-y ) =tg ( x-y ) ;

2) 2 sin ( x+y ) cos ( x+y ) +cos ( x-y ) -tg x= 2 sin x cos y+2 cos x sin y cos x cos y-sin x sin y+cos x cos y+sin x sin y -tg x=

2( sin x cos y+cos x sin y ) 2 cos x cos y -tg x= sin x cos y cos x cos y + cos x sin y cos x cos y -tg x= = sin x cos x + sin y cos y - sin x cos x = sin y cos y =tg y.

Ответ. 1) tg (x – y); 2) tg y.

Формулы кратного аргумента

Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β. sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α= cos 2  α- sin 2  α ; tg 2α= 2tgα 1- tg 2  α , α π 2 +πnα π 4 + πn 2 n ; ctg 2α= ct g 2  α-1 2ctgα , α πn 2 , n . Эти формулы называются формулами двойного угла.

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим: cos 2α= cos 2  α- sin 2  α=2 cos 2  α-1=1- sin 2  α , cos 2α=2  cos 2  α-1 , cos 2α=1-2  sin 2  α .

Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится cos 2α= cos 2  α- sin 2  α=( cos α-sin α ) ( cos α+sin α ) , cos 2α=( cos α-sin α ) ( cos α+sin α ) .

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента. cos ( α+2α ) =cos α cos 2α-sin α sin 2α=cosα ( 2 cos 2   α-1 ) -2  sin 2  α cos α= =cos α ( 2  cos 2  α-1 ) -2( 1- cos 2  α ) cosα=cosα ( 4  cos 2  α-3 ) . cos 3α=cosα ( 4  cos 2  α-3 ) .

Совершенно аналогично получается формула sin 3α=sin α ( 3-4  sin 2  α ) . Полученные формулы называются формулами кратного аргумента. Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д.

Вычислите tg x, если tg 2x=2,  3π 2 <x<2π .

Так как 3π 2 <x<2π , то tg x<0 . Имеем: tg 2x= 2 tg x 1-t g 2  x =2 tg x=1-t g 2  x t g 2 x+tg x-1=0 .

Делаем замену t = tg x и получаем уравнение t 2 +t-1=0 , корни которого t 1, 2 = -1± 5 2 . Так как tg x<0 , то нас интересует только отрицательный корень. Следовательно, tg x=- 1+ 5 2 .

Ответ.  tg x=- 1+ 5 2 .

Упростите выражение cos 3x cos x - sin 3x sin x .

cos 3x cos x - sin 3x sin x = cos x ( 4  cos 2  x-3 ) cos x - sin x ( 3- sin 2  x ) sin x = cos 2  x-3-3+ sin 2  x= =4( cos 2  x+ sin 2  x ) -6=4-6=-2.

Ответ. −2.

Универсальная подстановка

Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде: sin 2α= 2 sin α cos α 1 = 2 sin α cos α sin 2  α+ cos 2  α = 2 sin α cos α cos 2  α sin 2  α cos 2  α + cos 2  α cos 2  α = 2 tg α 1+t g 2  α , sin 2α= 2tgα 1+ tg 2  α , α π 2 +πnn .

Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается cos 2α= 1-t g 2  α 1+t g 2  α , α π 2 +πn, n . Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем: ctg 2α= 1-t g 2  α 2tgα , α πn 2 , n . Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде: sin α= 2 tg  α 2 1+t g 2   α 2 , απ+2πnn ,
cos α= 1-t g 2   α 2 1+t g 2   α 2 απ+2πnn ,
ctg α= 1-t g 2   α 2 2tg α 2 απ+2πnn ,
tg α= 2tg α 2 1-t g 2   α 2 απ+2πnn .

Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции могут быть рационально выражены через t=tg  α 2 , а именно: sin α= 2t 1+ t 2 ,
cos α= 1- t 2 1+ t 2 ,
tg α= 2t 1- t 2 ,
ctg α= 1- t 2 2t .

Говорят, что замена t=tg  α 2 является универсальной подстановкой для основных тригонометрических функций.

Формулы понижения степени

Из формулы косинуса двойного угла cos 2α= cos 2  α- sin 2  α= cos 2  α-1=1- sin 2  α следуют формулы понижения степени: cos 2  α= 1+cos 2α 2 ,
sin 2  α= 1-cos 2α 2 .

Формулы половинного аргумента

Если в последних формулах заменить α на α 2 , то получатся формулы половинного аргумента: cos 2   α 2 = 1+cos α 2 ,
sin 2   α 2 = 1-cos α 2 ,
t g 2   α 2 = 1-cos α 1+cos α , απ( 2n+1 ) , n ,
ct g 2   α 2 = 1+cos α 1-cos α α2πnn .

Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно: tg  α 2 = sin  α 2 cos  α 2 = sin  α 2  cos  α 2 cos 2   α 2 = sin  α 2   cos  α 2 cos 2   α 2 = sin α 1+cos α ,
tg  α 2 = sin α 1+cos α .

Совершенно аналогично получается формула ctg  α 2 = 1+cos α sin α = sin α 1-cos α .

Преобразование произведения в сумму

Запишем теперь две формулы сложения: cos ( α+β ) =cos α cos β-sin α sin β ,
cos ( α-β ) =cos α cos β+sin α sin β .
Сложим их: cos α cos β= 1 2 [ cos ( α-β ) +cos ( α+β ) ] . Вычтем их: sin α sin β= 1 2 [ cos ( α-β ) -cos ( α-β ) ] .

Если рассмотреть две другие формулы сложения: sin ( α+β ) =sin α cos β+cos α sin β ,
sin ( α-β ) =sin α cos β-cos α sin β
и сложить их, то получится sin α cos β= 1 2 [ sin ( α-β ) +sin ( α+β ) ] .

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму.

Преобразование суммы в произведение

Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в сумму в виде cos ( α-β ) +cos ( α+β ) =2 cos α cos β .

Сделаем замену переменных: x = α – β, y = α + β. Из этой замены следует, что α= x+y 2 и β= y-x 2 , и последняя формула имеет вид cos x+cos y=2cos x+y 2   cos  x-y 2 .

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение. cos x-cosy=-2sin x+y 2   sin  x-y 2 ,
sin x+sin y=2sin x+y 2   cos  x-y 2 ,
sin x-sin y=2cos x+y 2   sin  x-y 2 .

Упростите выражения

1) 2  cos 2  2x+cos 5x-1 sin 5x+2cos2xsin2x ;

2) cos 2  x+ cos 2  y-cos ( x+y ) cos ( x-y ) .

Имеем:

1) cos 2  2x+cos 5x-1 sin5x+2cos2xsin2x = cos 4x+cos 5x sin 5x+sin 4x = 2cos 9x 2   cos  x 2 2sin 9x 2   cos  x 2 = cos  9x 2 sin  9x 2 =ctg  9x 2 .

2) cos 2  x+ cos 2  y-cos ( x+y )  cos ( x-y ) =

cos 2  x+ cos 2  y- 1 2 [ cos ( x+y-x+y ) +cos ( x+y+x-y ) ]= cos 2  x+ cos 2  y- 1 2 [ cos 2y+cos 2x ]= cos 2 x+ cos 2 y- 1 2 [ 2  cos 2   x-1+2  cos 2  y-1 ]= cos 2  x+ cos 2  y- cos 2   x+ 1 2 - cos 2   y+ 1 2 = 1 2 + 1 2 =1.

Ответ. 1) ctg 9x 2 ; 2) 1.





 

Купить самоспасатель
В продаже - самоспасатель шанс, цены ниже! Неликвидные остатки
rosgornospas.ru
© Физикон, 1999-2015