Учебник. Свойства логарифмов

1) $\sqrt{{\text{log}}_3{\mathrm{ 81}}^9}-4{\text{log}}_9\sqrt{3}=\sqrt{{\text{log}}_3{\mathrm{ 3}}^{36}}-4{\text{log}}_{3^2}{\mathrm{ 3}}^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{36{\text{log}}_3\mathrm{ 3}}-4ċ\frac{1}{2}ċ\frac{1}{2}{\text{log}}_3\mathrm{ 3}=\sqrt{36}-1=6-1=5.$

2) $3^{{\text{log}}_{\sqrt{3}}\mathrm{ 7}-2{\text{log}}_{1\mathrm{/}3}\mathrm{ 7}}=3^{{\text{log}}_{3^{1\mathrm{/}2}}\mathrm{ 7}-2{\text{log}}_{\mathrm{(}{3}^{\mathrm{-}1}\mathrm{)}}\mathrm{ 7}}=3^{2{\text{log}}_3\mathrm{ 7}+2{\text{log}}_3\mathrm{ 7}}=3^{4{\text{log}}_3\mathrm{ 7}}=$

Ответ. 1) 5; 2) 2401.

Перейдём в log₆  5 к основанию 2. Имеем ${\text{log}}_6\mathrm{ 5}=\frac{{\text{log}}_2\mathrm{ 5}}{{\text{log}}_2\mathrm{ 6}}=\frac{{\text{log}}_2\frac{10}{2}}{{\text{log}}_2\mathrm{ 2}ċ3}=\frac{{\text{log}}_2\mathrm{ 10}-{\text{log}}_2\mathrm{ 2}}{{\text{log}}_2\mathrm{ 2}+{\text{log}}_2\mathrm{ 3}}=\frac{{\text{log}}_2\mathrm{ 10}-1}{1+{\text{log}}_2\mathrm{ 3}}$ Однако по условию: ${\text{log}}_3\mathrm{ 2}=x\iff {\text{log}}_2\mathrm{ 3}=\frac{1}{x}\text{.}$ Аналогично $lg2=y\iff {\text{log}}_2\mathrm{ 10}=\frac{1}{y}\text{.}$ Значит, ${\text{log}}_6\mathrm{ 5}=\frac{{\text{log}}_2\mathrm{ 10}-1}{1+{\text{log}}_2\mathrm{ 3}}=\frac{\frac{1}{y}-1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\frac{1-y}{y}}{\frac{x+1}{x}}=\frac{x\mathrm{(}1-y\mathrm{)}}{y\mathrm{(}x+1\mathrm{)}}\text{.}$

Ответ. $\frac{x\mathrm{(}1-y\mathrm{)}}{y\mathrm{(}x+1\mathrm{)}}\text{.}$