Учебник. Показательная функция




Показательная функция

В § 2.2.4 мы определили значение выражения ax для всех a > 0 и всех x. Если a = 1, то ax = 1 при всех x. Следовательно, при a > 0, a ≠ 1, определена функция y = ax, отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a. К основным свойствам показательной функции y = ax при a > 1 относятся:

  1. Область определения функции − вся числовая прямая.
  2. Область значений функции − промежуток ( 0; + ) .
  3. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x 1 < x 2 , то a x 1 < a x 1 .
  4. График показательной функции с основанием a > 1 изображён на рисунке.
Функция y = ax при a > 1
Функция y = ax при 0 < a < 1
К основным свойствам показательной функции y = ax при 0 < a < 1 относятся:
  1. Область определения функции − вся числовая прямая.
  2. Область значений функции − промежуток ( 0; + ) .
  3. Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть, если x 1 < x 2 , то a x 1 > a x 2 .
  4. График показательной функции с основанием 0 < a < 1 изображён на рисунке.

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:

  1. a x 1 ċ a x 2 = a x 1 + x 2 для всех x 1 и x 2 .
  2. ( a x 1 ) x 2 = a x 1 ċ x 2 для всех x 1 и x 2 .
  3. a -x = ( a x ) -1 = 1 a x для любого x.
  4. a x n = a x n для любого x и любого n , n1.
  5. (ab)x = axbx для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.
  6. ( a b ) x = a x b x для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.
  7. a x 1 = a x 2 x 1 = x 2 .

Все эти свойства следуют из свойств операции возведения в степень. Третье и четвёртое свойства являются непосредственным следствием второго. Седьмое свойство следует из строгой монотонности показательной функции и даёт способ решения простейших показательных уравнений.

Упростите выражение 2 2x ċ 3 x + 12 x - 2 x+1 ċ 6 x .

Имеем 2 2x ċ 3 x + 12 x - 2 x+1 ċ 6 x = 4 x ċ 3 x + ( 4ċ3 ) x -2ċ 2 x ċ( 2 x ċ 3 x ) =
= 4 x ċ 3 x + 4 x ċ 3 x -2ċ 4 x ċ 3 x =2ċ 4 x ċ 3 x -2ċ 4 x ċ 3 x =0.

Ответ. 0.

Решите уравнение: 1)  3 2x-1 = 81 - 3 2 ; 2)  2 x + 2 -x+1 =3 .

1) Приведём уравнение к виду a x 1 = a x 2 . Имеем 3 2x-1 2 = 3 4ċ( - 3 2 ) 3 x- 1 2 = 3 -6 . Отсюда получается x- 1 2 =-6 x= 1 2 -6=- 11 2 .

2) 2 x + 2 -x+1 =3 2 x +2ċ 1 2 x =3 ( 2 x ) 2 +2=3ċ 2 x ( 2 x ) 2 -3ċ 2 x +2=0. Сделаем замену переменной t= 2 x . Тогда получается квадратное уравнение t 2 -3t+2=0 , корни которого t 1 =1 и  t 2 =2. Таким образом, либо 2 x =1 , то есть 2 x = 2 0 и x = 0, либо 2 x =2 2 x = 2 1 , то есть x=1.

Ответ. 1) x=- 11 2 ; 2) x = 0, x = 1.
Показательная функция




 

© Физикон, 1999-2015